*-algebra di Banach

Una *-algebra di Banach $A$ è un'algebra di Banach sul campo dei numeri complessi sulla quale sia definita un'applicazione $*:A\to A$, detta involuzione, con le seguenti proprietà:

• $(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$ per ogni $x,y\in A$
• $(\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}$ per ogni $\lambda \in \mathbb {C}$ e ogni $x\in A$, dove ${\bar {\lambda }}$ è il complesso coniugato di $\lambda$
• $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$ per ogni $x,y\in A$
• $(x^{*})^{*}=x$ per ogni $x\in A$

Il termine B*-algebra è stato introdotto da C. E. Rickart nel 1946 per descrivere una *-algebra di Banach che soddisfa:

$\|xx^{*}\|=\|x\|^{2}$

per tutti gli $x$ nella data B*-algebra. Questa condizione implica che la *-involuzione è un'isometria, ovvero $\|x\|=\|x^{*}\|$, quindi $\|xx^{*}\|=\|x\|\|x^{*}\|$ e dunque una B*-algebra è una C*-algebra.

Bibliografia

• (EN) Siegfried Echterhoff, C*-Algebras : Proceedings of the SFB-Workshop on C*-Algebras, Münster, Germany, March 8-12, 1999, Springer Berlin Heidelberg, 2000, ISBN 978-3-642-57288-3, OCLC 840292382.
• (EN) Kenneth R. Davidson, C*-algebras by example, American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, OCLC 34669383.
• (EN) N. E. Wegge-Olsen, K-theory and C*-algebras: a friendly approach, Oxford University Press, 1993, ISBN 0-19-859694-4, OCLC 26933088.

Voci correlate

• *-algebra
• Algebra di Banach
• C*-algebra

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Involutive Banach Algebra, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Lawrence W. Baggett, The spectral theorem of Gelfand (PDF), su Analysis of Functions of a Single Variable, University of Colorado Boulder.