Arg max

In matematica, gli argomenti del massimo (abbreviato come arg max) sono i punti di un dato argomento per i quali una data funzione raggiunge il suo massimo:^[1]

Definizione

Dato un insieme di punti $X$ , l'argomento del massimo è dato da

{\underset {x\in X}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\ |\ \forall y:f(y)\leq f(x)\}.

In altre parole, è l'insieme dei valori di $x$ per i quali $f(x)$ raggiunge il suo più alto valore $M$ . Per esempio, se $f(x)$ è $1-|x|$ , raggiungerà il suo valore massimo $1$ per $x=0$ e solo in quel punto, quindi

{\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}

.

Equivalentemente, se $M$ è il massimo di $f$ , allora l'arg max è l'insieme di livello del suo massimo:

{\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=f^{-1}(M)=\{x\ |\ f(x)=M\}.

Se il massimo è raggiunto per un singolo valore, allora ci si riferisce a tale punto come il massimo argomento, cioè si definisce l'arg max come un punto, non un insieme di punti. Così, per esempio,

{\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}(x(10-x))=5,

(piuttosto che il singoletto $\{5\}$ ), poiché il valore massimo di $x(10-x)$ è $25$ , il quale si ottiene per $x=5$ .^[2]

Tuttavia, nel caso in cui il massimo fosse raggiunto in molti valori, arg max è un insieme di punti.

Quindi, si ha per esempio

{\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \},

poiché il valore massimo di $\cos(x)$ è $1$ , il quale si ottiene per $x=0$ , $2\pi$ o $4\pi$ . Sull'intera retta reale, l'arg max è $\{2k\pi \}$ , con $k\in \mathbb {Z}$ .

Si noti inoltre che le funzioni, in generale, non raggiungono un valore massimo, e quindi in generale non hanno un massimo argomento: $\operatorname {arg\,max} _{x\in \mathbb {R} }x$ non è definito, così $x$ è illimitato sulla retta reale. Tuttavia, per il teorema di Weierstrass (o per le proprietà degli spazi compatti), una funzione continua su un compatto ammette massimo, e quindi un arg max.

Argomento del minimo

Similmente arg min sta per argomento del minimo, ed è definito in modo del tutto analogo. Per esempio,

{\underset {x}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\ |\ \forall y:f(y)\geq f(x)\}.

sono i valori di $x$ per i quali $f(x)$ raggiunge il suo valore minimo.

Proprietà

$\arg \max _{x}\{-f(x)\}=\arg \min _{x}f(x)$ .
Invarianza rispetto alle costanti additive: $\arg \max _{x}\{f(x)+a\}=\arg \max _{x}f(x)$ per ogni $a\in \mathbb {R}$ .
Invarianza rispetto alle costanti moltiplicative positive: $\arg \max _{x}\{cf(x)\}=\arg \max _{x}\{f(x)\}$ per ogni $c>0$ .
Più in generale, se $g$ è una funzione continua strettamente monotona^[3] e $g(f(x))$ è ben definita, allora

\arg \max _{x}\{g(f(x))\}=\arg \max _{x}\{f(x)\}.

Note

^ Per maggior chiarezza, ci riferiamo all'input ( $x$ ) come punti e all'output ( $y$ ) come valori; confronta con Punto critico.
^ Differenziando, si ha $10-2x=0$ .
^ Con la dicitura strettamente monotona si intende una funzione strettamente crescente oppure strettamente decrescente.

Voci correlate

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[1] Per maggior chiarezza, ci riferiamo all'input ( $x$ ) come punti e all'output ( $y$ ) come valori; confronta con Punto critico.

[2] Differenziando, si ha $10-2x=0$ .

[3] Con la dicitura strettamente monotona si intende una funzione strettamente crescente oppure strettamente decrescente.

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