Associaedro

In matematica, un associaedro $K_{n}$ è un politopo convesso in cui ogni vertice rappresenta un modo di inserire correttamente parentesi aperte e chiuse in una stringa di $n$ lettere e gli spigoli corrispondono ad una singola applicazione della proprietà associativa. I vertici dell'associaedro possono anche essere visti come le triangolazioni di un poligono regolare con $n+1$ lati. Gli associaedri sono anche chiamati politopi di Stasheff.

Proprietà

Il numero di facce $(n-k)$ -dimensionali di un associaedro di ordine $n$ ( $K_{n+1}$ ) è dato dalla seguente tabella:^[1]

${\begin{matrix}&k&1&2&3&4&5\\n\\1&&1\\2&&1&2\\3&&1&5&5\\4&&1&9&21&14\\5&&1&14&56&84&42\end{matrix}}$

Il numero di vertici in $K_{n+1}$ è l'n-esimo numero di Catalan (diagonale del triangolo in tabella).

Il numero di faccette è invece l'ennesimo numero triangolare meno uno, e sono rappresentati in tabella dalla seconda colonna.

La somma delle facce di tutte le dimensioni, includendo l'associaedro stesso come faccia, è un numero di numero di Schröder-Ipparco.^[2]

Esempi

3-Associaedro

L'associaedro monodimensionale $K_{3}$ rappresenta le due parentesizzazioni di tre simboli, che sono ((xy)z) e (x(yz)), o le due triangolazioni di un quadrato. È un segmento.

4-Associaedro

L'associaedro bidimensionale $K_{4}$ è un pentagono che rappresenta le 5 parentesizzazioni di 4 simboli, o le 5 triangolazioni di un pentagono regolare.

5-Associaedro

L'associaedro tridimensionale $K_{5}$ è un ennaedro topologicamente equivalente alla bipiramide triangolare troncata con nove facce e quattordici vertici. Questo può sembrare un solido di Johnson, in quanto può sembrare possibile costruirlo utilizzando quadrati e pentagoni regolari, ma non lo è: i vertici non sarebbero coplanari oppure le facce sarebbero leggermente distorte.

Dato che $K_{5}$ è un poliedro in cui per ogni vertice si incontrano solo 3 lati, sarebbe teoricamente possibile avere un idrocarburo che abbia uno scheletro con questa forma.

Note

^ Sloane, N. J. A., Entry A033282 in The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, su oeis.org.
^ Ralf Holtkamp, On Hopf algebra structures over free operads, in Advances in Mathematics, vol. 207, n. 2, 2006, pp. 544–565, DOI:10.1016/j.aim.2005.12.004, MR 2271016, arXiv:math/0407074..

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Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Associaedro, su MathWorld, Wolfram Research.

[1] Sloane, N. J. A., Entry A033282 in The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, su oeis.org.

[2] Ralf Holtkamp, On Hopf algebra structures over free operads, in Advances in Mathematics, vol. 207, n. 2, 2006, pp. 544–565, DOI:10.1016/j.aim.2005.12.004, MR 2271016, arXiv:math/0407074..

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