Bias di Chebyshev
Nella teoria dei numeri, il bias di Chebyshev è il fenomeno per cui i numeri primi inferiori a un dato numero che sono della forma sono per la maggior parte delle volte più numerosi di quelli della forma , nonostante il loro limite sia lo stesso. Questo fenomeno fu osservato per la prima volta da Čebyšëv nel 1853.
Descrizione
modificaSia il numero di primi fino a della forma . Per il teorema dei numeri primi (esteso alle progressioni aritmetiche),
cioè mediamente metà dei numeri primi sono della forma , e metà della forma . Sarebbe dunque ragionevole supporre che, al variare di , una forma prevalga sull'altra nel 50% circa dei casi.
Le prove numeriche, tuttavia, non supportano tale ipotesi: infatti, si verifica molto più frequentemente. Ad esempio, questa disuguaglianza vale per tutti i primi minori di 26833 eccetto 5, 17, 41 e 461, nel qual caso si ha . Il primo numero primo tale che è 26861.
In generale, con numeri interi tali che , se e è un residuo quadratico mod , e è un non-residuo quadratico mod , allora si verifica con maggiore frequenza; tuttavia la dimostrazione è possibile solo assumendo forme forti dell'ipotesi di Riemann.
La congettura più forte di Knapowski e Turán, secondo cui sarebbe unitaria la densità dei numeri per cui vale si è rivelata falsa. In sostanza questa congettura affermerebbe che tale disuguaglianza vale per quasi tutti gli . Tuttavia, anche se la congettura non risulta vera, è noto che la densità logaritmica dei valori che la verificano è di circa 0,9959...[1].
Note
modifica- ^ Chebyshev's bias, Experiment. Math. 3(3): 173-197 (1994).
Bibliografia
modifica- PL Chebyshev: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4 n + 1 e 4 n + 3, Boll. Classe Phys. Accad. Imp. Sci. San Pietroburgo , 11 (1853), 208.
Collegamenti esterni
modifica- (EN) Eric W. Weisstein, Bias di Chebyshev, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Sequenza A007350, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation. (where prime race 4n+1 versus 4n+3 changes leader)
- (EN) Sequenza A007352, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation. (where prime race 3n+1 versus 3n+2 changes leader)