Criterio di Chebychev–Grübler–Kutzbach

Il Criterio di Chebychev–Grübler–Kutzbach permette di determinare il numero di gradi di libertà di una catena cinematica.

Il Criterio è chiamato anche formula di mobilità, perché calcola il numero di parametri che definiscono la configurazione di una struttura a partire dal numero di collegamenti e giunti e dal grado di libertà di ciascun giunto.

Formula di Mobilità

Si consideri un meccanismo composto da $m$ corpi rigidi, compreso l'elemento fisso. Ogni corpo rigido non vincolato, nello spazio, ha 6 gradi di libertà, 3 traslazionali e 3 rotazionali, questi vengono ridotti dalla presenza di coppie cinematiche o giunti, che collegano i corpi rigidi fra loro. Le coppie cinematiche sono suddivise per gradi in base ai $gdl$ (gradi di libertà) che permettono:

Gradi coppie cinematiche

Grado	g.d.l. permessi	g.d.l. eliminati
I	1	5
II	2	4
III	3	3
IV	4	2
V	5	1

Dette $C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$, $C_{4}$ e $C_{5}$ il numero delle coppie cinematiche, rispettivamente dal grado I al grado V, è possibile descrivere i la somma $g_{i}$ dei gradi di libertà permessi dalle singole coppie come:

$g_{i}=C_{1}+2C_{2}+3C_{3}+4C_{4}+5C_{5}$

Detto $n$ il numero totale delle coppie cinematiche, i gradi di libertà di un meccanismo è dato dalla formula:

$gdl=6(m-n-1)+g_{i}$

Risultato analogo è possibile ottenerlo considerando i $gdl$ eliminati anziché quelli permessi, detta $e_{i}$ la somma dei gradi di libertà eliminati dalle singole coppie cinematiche:

$e_{i}=5C_{1}+4C_{2}+3C_{3}+2C_{4}+C_{5}$

Il numero di gradi di libertà del meccanismo:

$gdl=6(m-1)-e_{1}$

A seconda del numero di gradi di libertà il sistema si può considerare: iperstatico se i $gdl<0$; labile se i $gdl>0$ o isostatico se il numero di gradi di libertà è pari a zero.

Formula di Grubler

La Formula di Grübler è una particolarizzazione nel piano del criterio di Chebychev–Grübler–Kutzbach. Un corpo rigido non vincolato, nel piano, possiede solo 3 gradi di libertà e il grado delle coppie cinematiche non supera il secondo:

$g_{i}=C_{1}+2C_{2}$

Per cui i $gdl$ di un meccanismo nel piano, considerati i $gdl$ permessi dai singoli giunti:

$gdl=3(m-n-1)+g_{i}$

Se si vogliono considerare i $gdl$ eliminati dai gradi, bisogna tener presente che ci troviamo nel piano, per cui una coppia cinematica di I grado, che permette un singolo $gdl$, dovrà vincolarne 2 e non più 5. Per cui $e_{i}$ prende la forma:

$e_{i}=2C_{1}+C2$

da cui:

$gdl=3(m-1)-e_{i}$

Bibliografia

• E. Funaioli, A. Maggiore, U. Meneghetti - Lezioni di meccanica applicata alle macchine, prima parte, Bologna, Pàtron, 2005.
• C. Rossi - Lezioni di Meccanica dei Robot, Napoli, Edizioni Scientifiche e Artistiche, 2010.