Discussione:Equazione differenziale lineare

Ma la soluzione particolare non dovrebbe essere

$y=e^{-ax}\int _{x_{0}}^{x}f(t)e^{at}dt$

invece di

$y=\int _{x_{0}}^{x}f(t)e^{at}dt$ ?

Se uno prova a svolgere questo

${\frac {d\left(e^{-ax}\int _{x_{0}}^{x}f(t)e^{at}dt\right)}{dx}}+ae^{-ax}\int _{x_{0}}^{x}f(t)e^{at}dt$

viene appunto $f(x)$

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Non c'è solo questo. C'è anche che la a(x) diventa ax. --Fioravante Patrone 18:07, 7 dic 2008 (CET)

Ricopio da vecchia versione in crono

Inserisco qui sotto la versione come inserita il 7 febb 2007 ore 15:30 da Tridim, che potrebbe essere recuperata e inserita nella voce. Inspiegabilmente poi lo stesso Tridim era ri-intervenuto introducendo i problemi sopa evidenziati dallo IP (forse voleva rielaborare e ha lasciato in sospeso).

Equazione lineare del primo ordine non omogenea a coefficienti variabili

Il problema si riferisce all'equazione:

$(1)\,y'+a(x)\cdot y=f(x)$

dove a(x) è una funzione. Innanzitutto si risolve la corrispondente equazione omogenea come visto sopra:

$(2)\,y'+a(x)\cdot y=0$

Formalmente si separano le variabili:

${\frac {dy}{y}}=-a(x)\cdot dx$

e si integra:

$\int _{y_{0}}^{y}{\frac {dy}{y}}=-\int _{x_{0}}^{x}a(x)\cdot dx\Longrightarrow \ln(y-y_{0})=-(A(x)-A(x_{0}))$

dove A(x) è una primitiva della funzione a(x). Infine la soluzione:

$(3)\,y=y_{0}+\cdot e^{(A(x_{0})-A(x))}$

Anche il questo caso abbiamo supposto dato il problema di Cauchy: $(4)\,y(x=x_{0})=y_{0}$, allora la soluzione non è una famiglia di curve ma è unica:

• Esempio

Si consideri

$y'=x^{2}y{\mbox{ con }}y(1)=2$

poiché

$\int _{2}^{y}{\frac {dy}{y}}=\int _{1}^{x}x^{2}\,dx$

$\ln(y-2)={\frac {1}{3}}\cdot \left(x^{3}-1^{3}\right)$

cioè

$y=2+e^{{\frac {1}{3}}\left(x^{3}-1\right)}.$

Se $a$ è una costante ritorniamo al caso descritto sopra.

Per trovare una soluzione particolare della (1), cerchiamola nela forma:

$y=u(x)\cdot e^{-A(x)}$

Sostituendola nella (1), abbiamo:

$u'(x)\cdot e^{A\cdot x})-Ac\cdot e^{-A\cdot x}\cdot u$

Sostituendo $y$ e $y'$ nell'equazione originaria si ottiene:

$u'(c\cdot e^{-A(x)}-a(x)\cdot u(x)\cdot e^{-A(x)}+a(x)\cdot u(x)\cdot e^{-A(x)}=f(x)$

Semplificando si ha:

$u'(x)=f(x)\cdot e^{A(x)}$

dalla quale basta integrare per trovare:

$u(x)=\int f(t)e^{-A(t)}dt+C_{1}$

La soluzione generale è dunque

$y=Ke^{-A(x)}+e^{-A(x)}\cdot \int f(t)e^{-A(t)}dt$

dove K ingloba tutte le costanti.

Le soluzioni dell'equazione lineare non omogenea del primo ordine ha soluzioni in grande, poiché dato il problema di Cauchy associato (4) possiamo avere una ed una sola soluzione nell'intervallo di definizione della x :

$y(x)=e^{-A(x)+A(x_{0})}\cdot \left(y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t)e^{-A(t)+A(x_{0})}dt\right)$

Questa è la soluzione generale delle equazioni differenziali lineari del primo ordine. Venne trovata per la prima volta da Jean Bernoulli, il minore dei due fratelli Bernoulli capostipiti.

• Esempio

Si consideri la seguente equazione differenziale

$y'=x-y\;$

Portandola in forma normale si ottiene:

$y'+y=x$

La soluzione dell'omogenea associata è:

$y=ce^{-x}$

La soluzione dell'equazione completa la cerchiamo nella forma:

$u(x)\cdot e^{-x}$

Sostituita nell'equazione completa:

$u'(x)\cdot e^{-x}-u(x)\cdot e^{-x}+u(x)\cdot e^{-x}=x$

e dunque:

$u'(x)\cdot e^{-x}=x\Longrightarrow u'(x)=x\cdot e^{x}$

Integrando per parti otteniamo:

$u(x)=0+c_{1}$

Quindi la nostra soluzione è:

$y=ce^{-x}+c_{1}$.

Interprogetto

Mi sono permesso di inserire il link per wikiversità, che sta costruendo delle lezioni di equazioni differenziali. Ogni contributo per migliorare la qualità delle lezioni è sempre bene accetto :)--Darkxifrit (msg) 22:35, 6 mar 2009 (CET)