Distribuzione logaritmica

In teoria delle probabilità la distribuzione logaritmica (o della serie logaritmica) è una distribuzione di probabilità discreta sui numeri interi positivi che esprime lo sviluppo in serie di Taylor del logaritmo naturale,

Distribuzione logaritmica
Funzione di probabilità discreta Distribuzione di probabilità
Funzione di ripartizione Funzione di ripartizione
Parametri	$p\in ]0,1[\$
Supporto	$\mathbb {N} \setminus \{0\}=\{1,2,3,...\}$
Funzione di densità	${\frac {1}{\log {\frac {1}{1-p}}}}{\frac {p^{n}}{n}}$
Funzione di ripartizione	$1+{\frac {\mathrm {B} _{b}(n+1,0)}{\ln(1-p)}}$ con $\mathrm {B} _{p}$ la funzione Beta incompleta
Valore atteso	${\frac {1}{\log {\frac {1}{1-p}}}}{\frac {p}{1-p}}$
Moda	$1\$
Varianza	$-p{\frac {p+\log(1-p)}{(1-p)^{2}(\log(1-p))^{2}}}$
Funzione generatrice dei momenti	${\frac {\log(1-pe^{t})}{\log(1-p)}}$
Funzione caratteristica	${\frac {\log(1-pe^{it})}{\log(1-p)}}$

$\log(1-x)=-{\Big (}x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+...{\Big )}$.

La distribuzione venne descritta da Ronald Fisher in uno studio sulla genetica delle popolazioni.

Definizione

La distribuzione logaritmica di parametro $p\in ]0,1[$ attribuisce le probabilità

$P(n)={\frac {1}{-\log(1-p)}}{\frac {p^{n}}{n}}={\frac {1}{\log {\frac {1}{1-p}}}}{\frac {p^{n}}{n}}$ per $n>0$.

Siccome la serie di Taylor (o di Maclaurin) di $-\log(1-x)$ ha raggio di convergenza 1, la probabilità totale è 1.

La funzione di ripartizione è

$F(n)=1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(n+1,0)}{\log(1-p)}}$,

dove $\mathrm {B} _{p}$ è la funzione Beta incompleta.

Caratteristiche

Una variabile aleatoria $X$ con distribuzione logaritmica di parametro $p$ ha

• momenti semplici

$\mu _{k}=E[X^{k}]={\frac {1}{\log {\frac {1}{1-p}}}}\sum _{n>0}n^{k-1}p^{k}$,

tramite i quali si possono esprimere

• la speranza matematica

$E[X]={\frac {1}{\log {\frac {1}{1-p}}}}{\frac {p}{1-p}}$

• e la varianza

${\text{Var}}(X)=E[X^{2}]-E[X]^{2}={\frac {1}{-(1-p)^{2}\log(1-p)}}-{\Big (}{\frac {p}{-(1-p)\log(1-p)}}{\Big )}^{2}$.

La funzione generatrice dei momenti è

$g_{X}(t)=E[e^{tX}]={\frac {1}{-\log(1-p)}}\sum _{n>0}{\frac {(pe^{t})^{n}}{n}}={\frac {\log(1-pe^{t})}{\log(1-p)}}$.

Inoltre siccome la funzione $p^{n}/n$ è decrescente, $P(n)$ assume il valore massimo in 1, la moda.

Altre distribuzioni

Formula ricorsiva

La distribuzione logaritmica di parametro $p$ soddisfa la ricorsione di Panjer

$P(n)=(p+{\tfrac {-p}{n}})P(n-1)$ per $n>1$

ma è limitata al supporto $\mathbb {N} \setminus \{0\}$. (La distribuzione di Panjer con gli stessi parametri definisce una distribuzione degenere, con $P(1)=(p-p)P(0)=0$.)

Distribuzione composta di Poisson

Se la variabile aleatoria $N$ segue una distribuzione di Poisson allora la somma di $N$ variabili aleatorie indipendenti $X_{1},...,X_{N}$ con una stessa distribuzione logaritmica,

$X_{1}+...+X_{N}$,

segue una distribuzione di Pascal (o binomiale negativa).

In altri termini, la distribuzione di Pascal è una distribuzione composta di Poisson della distribuzione logaritmica.

Voci correlate

• Distribuzione composta di Poisson
• Distribuzione di Panjer
• Logaritmo
• Serie di Taylor
• Sviluppo in serie

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Log-Series Distribution, su MathWorld, Wolfram Research.