Equazione di Bernoulli instazionaria

In fluidodinamica, e in particolare nell'ambito del moto a potenziale può talvolta essere utile generalizzare la famosa equazione di Bernoulli per il caso di flusso non stazionario.

L'Equazione di Eulero per un fluido incomprimibile si riduce a:

$\rho {\frac {D^{2}{\vec {r}}}{Dt^{2}}}=-\nabla p+\rho {\textbf {g}}\ \ ,$

dove $\rho$ è la densità del fluido, ${\frac {D^{2}{\vec {r}}}{Dt^{2}}}$ è la sua accelerazione, $p$ è la pressione, ${\textbf {g}}$ è il vettore accelerazione di gravità. La derivata materiale a primo membro è esprimibile come:

${\frac {D^{2}{\vec {r}}}{Dt^{2}}}={\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {D{\vec {r}}}{Dt}}+({\frac {D{\vec {r}}}{Dt}}\cdot \nabla ){\frac {D{\vec {r}}}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {D{\vec {r}}}{Dt}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left({\frac {D{\vec {r}}}{Dt}}\right)^{2}-{\frac {D{\vec {r}}}{Dt}}\times (\nabla \times {\frac {D{\vec {r}}}{Dt}})\ \ .$

Introducendo ora l'ipotesi di flusso irrotazionale $(\nabla \times {\frac {D{\vec {r}}}{Dt}}=0)$ si avrà:

${\frac {D^{2}{\vec {r}}}{Dt^{2}}}={\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {D{\vec {r}}}{Dt}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left({\frac {D{\vec {r}}}{Dt}}\right)^{2}\ \ .$

Sempre grazie alla condizione di irrotazionalità, la velocità è esprimibile come ${\frac {D{\vec {r}}}{Dt}}=\nabla \Phi$, dove la funzione scalare $\Phi$ è detta potenziale di velocità. Quindi avremo:

${\frac {D^{2}{\vec {r}}}{Dt^{2}}}={\frac {\partial \nabla \Phi }{\partial t}}+\nabla \left({\frac {|\nabla \Phi |^{2}}{2}}\right)\ \ .$

Sostituendo ora quanto ottenuto all'interno dell'equazione di Eulero otterremo:

$\rho \left[{\frac {\partial \nabla \Phi }{\partial t}}+\nabla \left({\frac {|\nabla \Phi |^{2}}{2}}\right)\right]=-\nabla p+\rho {\textbf {g}}\ \ ,$

da cui, essendo ${\textbf {g}}=-g{\textbf {e}}_{z}$:

$\nabla \left[\rho {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\rho {|\nabla \Phi |^{2}}+p+\rho {\textbf {g}}z\right]=0\ \ .$

Si ottiene infine:

$\rho {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\rho {|\nabla \Phi |^{2}}+p+\rho {\textbf {g}}z=F(t)\ \ ,$

che è l'equazione di Bernoulli per flusso newtoniano, incomprimibile, non viscoso (ed in generale non stazionario) espressa in termini del potenziale di velocità $\Phi$, mentre $F(t)$ è una generica funzione del tempo. Senza perdere di generalità, è comunque possibile porre $F(t)=cost.$

Bibliografia

• Batchelor G. K. (1967), An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press