Esagono logico
L'esagono logico è un modello concettuale delle relazioni esistenti fra i valore di verità di sei proposizioni. Si tratta di una estensione del quadrato delle opposizioni, derivato da Aristotele.
Per vie parallele e indipendenti, fu scoperto dal logico francese Augustin Sesmat (1885-1957) e dal filosofo della matematica Robert Blanché (1898–1975).[1]
L'estensione consiste nell'introduzione di due proposizioni U e Y, dove U è la disgiunzione degli universali A ed E, mentre Y è la congiunzione delle due tradizionali proposizioni particolari I ed O.
Riepilogo delle relazioni
modificaIl più noto quadrato delle opposizioni mostra due sottoinsiemi di proposizioni contraddittorie A e O, e la coppia E e I (cioè che non possono essere entrambe vere oppure entrambe false contemporaneamente), due contrarie A ed E (che possono essere entrambe false, ma non possono essere entrambe vere), e due sub-contrarie I e O (che possono essere entrambe vere, ma non possono essere entrambe false), in accordo con le definizioni di Aristotele.
Ora, l'esagono logico ci mostra che U e Y sono contraddittorie tra loro.
Interpretazione dell'esagono logico
modificaL'esagono logico è interpretabile in diversi modi, che includono logica classica, quantificatori, logica modale, Teoria degli ordini, o Logica paraconsistente.
La proposizione A può essere interpretata come "Ogni uomo è bianco."
- (∀x)(Mx → Wx) ∧ (∃x)(Mx)
La proposizione E può essere interpretata come "Ogni uomo è non-bianco."
- (∀x)(Mx → ¬Wx)
La proposizione I può essere interpretata come "Alcuni uomini sono bianchi."
- (∃x)(Mx ∧ Wx)
La proposizione O può essere interpretata come "Non ogni uomo è bianco."
- (∃x)(Mx ∧ ¬Wx) ∨ ¬(∃x)(Mx)
La proposizione U può essere interpretata come "Ogni uomo o è bianco oppure è non-bianco"
- (∀x)(Mx → Wx) ∨ (∀x)(Mx → ¬Wx)
La proposizione Y può essere interpretata come "Qualche uomo è bianco e qualche uomo è non-bianco"
- (∃x)(Mx ∧ Wx) ∧ (∃x)(Mx ∧ ¬Wx)
Logica modale
modificaL'esagono logico può essere anche interpretato come un modello di logica modale tale che
- A è interpretata come condizione necessaria e sufficiente (o necessità modale: è così e non poteva non-essere o essere altrimenti)
- E è interpretata come impossibilità
- I è interpretata come possibilità logica
- O è interpretata come 'non-necessariamente'
- U è interpretata come non-contingente
- Y è interpretata come contingenza (è così, ma poteva essere altrimenti o non-essere)
Ulteriori estensioni
modificaÈ stato dimostrato che sia il quadrato che l'esagono logico possono essere ulteriormente estesi ad un (iper-)cubo logico tipo, attraverso una serie regolare di oggetti n-dimensionali chiamati "bi-simplessi logici di dimensione n". Il modello va anche di là di questo.[2]
Blanchè [1953; 1966] notò che aggiungendo Y ed U si otteneva un esagono logico AUEOYI che includeva tre quadrati delle opposizioni AEOI, YAUO e YEUI, ciascuno dei quali esibiva al proprio interno le relazioni note (contrarie, contraddittorie, subcontrarie).
Un simile esagono si ottiene ogni volta che partiamo da tre proposizioni reciprocamente esclusive come A, E e Y (Dubois e Prade, 2012a).
Passando alla notazione propria di una logica del primo ordine per negare i predicati, abbiamo ¬P e ¬Q per la negazione di P e Q fino ad ottenere un quadrato logico delle negazioni aeoi (in carattere minuscolo) in cui aggiungiamo l'ipotesi che insieme dei ¬P non sia un insieme vuoto.
A questo punto, le 8 proposizioni (A, E, O, I, a, e, o, i) possono essere organizzate nel cubo logico. Ipotizzare che esiste almeno un elementi di P e almeno un elemento di ¬P, implica che esiste almeno un elemento di Q ed almeno un elemento di ¬Q. Da ciò segue che:
- A implica i,
- a implica I,
- e implica O,
- E implica o.
e che le coppie ai vertici:
- a ed E,
- A ed e
non possono essere entrambe vere;
mentre i vertici
- i e O,
- I e o
non possono essere entrambe false. Infine, non esistono relazioni logiche tra A e a, E ed e, I e i, O e o.
Note
modifica- ^ N-opposition theory logical hexagon, su alessiomoretti.perso.sfr.fr. URL consultato il 15 giugno 2016 (archiviato dall'url originale il 21 luglio 2011).
- ^ Moretti, Pellissier
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Bibliografia
modifica- Jean-Yves Beziau (2012), "The power of the hexagon", Logica Universalis 6, 2012, 1-43. DOI: 10.1007/s11787-012-0046-9
- Blanché (1953)
- Blanché (1957)
- Blanché Structures intellectuelles (1966)
- Gallais, P.: (1982)
- Gottschalk (1953)
- Kalinowski (1972)
- Monteil, J.F.: The logical square of Aristotle or square of Apuleius.The logical hexagon of Robert Blanché in Structures intellectuelles.The triangle of Indian logic mentioned by J.M Bochenski.(2005)
- Moretti (2004)
- Moretti (Melbourne)
- Pellissier, R.: " "Setting" n-opposition" (2008)
- Sesmat (1951)
- Smessaert (2009)
Collegamenti esterni
modifica- Logica Huniversalis
- Alessio Moretti
- Jean-Yves Béziau, New Light on the Square of Oppositions and its Nameless Corner
- Didier Dubois, Henri Prade1, From Blanché’s Hexagonal Organization of Concepts to Formal Concept Analysis and Possibility Theory., su Logica Universalis Volume 6 Issue 1 · June 2012, pag. 149-169, su link.springer.com. URL consultato il 15 giugno 2016.
- Didier Dubois, Henri Prade1, Agnes Rico, The Cube of Opposition - A Structure underlying many Knowledge Representation Formalisms, su Proceedings of the Twenty-Fourth International Joint Conference on Artificial Intelligence (IJCAI 2015) (PDF), su ijcai.org. URL consultato il 15 giugno 2016.
