Formula genere-grado

In matematica, e in particolare nella geometria algebrica classica, la formula genere-grado lega il grado $d$ di una curva piana $C\subset \mathbb {P} ^{2}$ che ammette solo singolarità ordinarie con il suo genere geometrico $g$ mediante la formula:

$g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-\sum _{P\in C}{\frac {r_{P}(r_{P}-1)}{2}},$

dove $r_{P}$ è la molteplicità del punto $P$ della curva.

Se la curva è non singolare, le molteplicità sono tutte uguali a $1$ e si ha la formula

$g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2),$

in tal caso il genere geometrico e il genere aritmetico della curva coincidono.

Dimostrazione

La dimostrazione segue immediatamente dalla formula di aggiunzione. Per una dimostrazione classica vedere il libro di Arbarello, Cornalba, Griffiths e Harris.

Generalizzazione

Per un'ipersuperficie non singolare $H$ di grado $d$ in $\mathbb {P} ^{n}$ di genere aritmetico $g$ la formula diventa:

$g={\binom {d-1}{n}},$

dove ${\tbinom {d-1}{n}}$ è il coefficiente binomiale.

Bibliografia

• (EN) Arbarello, Cornalba, Griffiths, Harris. Geometry of algebraic curves. vol 1 Springer, ISBN 0-387-90997-4, appendix A. https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-5323-3
• (EN) Griffiths and Harris, Principles of algebraic geometry, Wiley, ISBN 0-471-05059-8, chapter 2, section 1.
• (EN) Robin Hartshorne (1977): Algebraic geometry, Springer, ISBN 0-387-90244-9.