Funzione di utilità CRRA

La forma generale di una funzione di utilità istantanea CRRA (Constant Relative Risk Adversion), cioè con coefficiente relativo di avversione al rischio costante, è:

U(c_{t})={\frac {c_{t}^{1-\gamma }}{1-\gamma }}\ \forall \gamma >0,\gamma \neq 1

U(c_{t})=\log c_{t}\ \ \ {\textrm {se}}\ \gamma =1

dove $c_{t}$ indica il livello di consumo al tempo $t$ , $U$ indica il livello di utilità istantanea e $\gamma$ è un parametro. La funzione di utilità CRRA rientra nella più generale classe di funzioni di utilità HARA.^[1]

In questa funzione l'utilità marginale del consumo al tempo $t$ è uguale a:

{\frac {\partial U}{\partial c_{t}}}=c_{t}^{-\gamma }

Il saggio marginale di sostituzione intertemporale (SMSI), cioè il saggio marginale di sostituzione del consumo al tempo $t$ con il consumo al tempo $t+n$ , essendo uguale al rapporto tra le utilità marginali dei consumi, è dato dunque da:

SMSI_{t,t+n}=\left({\frac {c_{t+n}}{c_{t}}}\right)^{\gamma }

da cui segue:

\sigma ={\frac {d\log \left({\frac {c_{t+n}}{c_{t}}}\right)}{d\log SMSI_{t,t+n}}}={\frac {1}{\gamma }}

dove $\sigma$ è l'elasticità di sostituzione intertemporale, cioè l'elasticità di sostituzione dei livelli di consumo tra $t+n$ e $t$ .

Quando la funzione di utilità istantanea è utilizzata per descrivere attitudini al rischio, $\gamma$ ; può avere un'interpretazione alternativa. Infatti, essendo il coefficiente di avversione relativa al rischio dato dal rapporto (cambiato di segno) tra la derivata seconda e la derivata prima della funzione moltiplicato per la variabile indipendente, in questo caso avremo:

R_{R}(c)=-c_{t}{\frac {U''(c_{t})}{U'(c_{t})}}=-c_{t}{\frac {-\gamma c_{t}^{-(\gamma +1)}}{c_{t}^{-\gamma }}}=\gamma

Note

^ Specificazione alternativa ed equivalente della funzione di utilità CRRA è la seguente:
$U(c_{t})={\frac {c_{t}^{1-\gamma }-1}{1-\gamma }}$ .
Questa formulazione, mantenendo inalterati elasticità di sostituzione intertemporale e coefficiente relativo di avversione al rischio, permette di evitare la necessità di una diversa forma funzionale nel caso in cui $\gamma =1$ . Infatti, nonostante per $\gamma =1$ la funzione non sia definita, si ha però:
$\lim _{\gamma \rightarrow 1}{\frac {c_{t}^{1-\gamma }-1}{1-\gamma }}=\lim _{\gamma \rightarrow 1}{\frac {-c_{t}^{1-\gamma }\log c_{t}}{-1}}=\log c_{t}$

Bibliografia

Kreps, David (1990) A Course in Microeconomic Theory, New Jersey: Princeton University Press ISBN 0691042640 - (trad. it. (1993) Corso di microeconomia, Bologna: Il Mulino, ISBN 978-88-15-03876-0).
Mas-Colell, Andreu, Whinston, Michael, Green, Jerry (1995) Microeconomic Theory, Oxford: Oxford University Press, ISBN 0195073401.

Voci correlate

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[1] Specificazione alternativa ed equivalente della funzione di utilità CRRA è la seguente:
$U(c_{t})={\frac {c_{t}^{1-\gamma }-1}{1-\gamma }}$ .
Questa formulazione, mantenendo inalterati elasticità di sostituzione intertemporale e coefficiente relativo di avversione al rischio, permette di evitare la necessità di una diversa forma funzionale nel caso in cui $\gamma =1$ . Infatti, nonostante per $\gamma =1$ la funzione non sia definita, si ha però:
$\lim _{\gamma \rightarrow 1}{\frac {c_{t}^{1-\gamma }-1}{1-\gamma }}=\lim _{\gamma \rightarrow 1}{\frac {-c_{t}^{1-\gamma }\log c_{t}}{-1}}=\log c_{t}$

[1]