Siano
φ
{\displaystyle \varphi }
ψ
{\displaystyle \psi }
U
⊂
R
3
{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{3}}
φ
{\displaystyle \varphi }
derivabile due volte con continuità e
ψ
{\displaystyle \psi }
campo vettoriale
F
=
ψ
∇
φ
{\displaystyle \mathbf {F} =\psi \nabla \varphi }
∇
φ
{\displaystyle \nabla \varphi }
gradiente di
φ
{\displaystyle \varphi }
teorema della divergenza mostra che:[ 1]
∫
U
∇
⋅
F
d
V
=
∮
∂
U
F
⋅
n
d
S
{\displaystyle \int _{U}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \ dV=\oint _{\partial U}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \ dS}
dove
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
versore uscente normale all'elemento di superficie
d
S
{\displaystyle dS}
∂
U
{\displaystyle \partial U}
U
{\displaystyle U}
∇
⋅
(
ψ
∇
φ
)
=
ψ
∇
2
φ
+
∇
ψ
⋅
∇
φ
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\psi \nabla \varphi )=\psi \nabla ^{2}\varphi +\nabla \psi \cdot \nabla \varphi }
si ottiene la prima identità di Green:[ 2]
∫
U
(
ψ
∇
2
φ
+
∇
φ
⋅
∇
ψ
)
d
V
=
∮
∂
U
ψ
(
∇
φ
⋅
n
)
d
S
{\displaystyle \int _{U}\left(\psi \nabla ^{2}\varphi +\nabla \varphi \cdot \nabla \psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} \right)\,dS}
dove
∇
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
laplaciano e:
ψ
∇
φ
⋅
n
=
ψ
∂
φ
∂
n
{\displaystyle \psi \nabla \varphi \cdot \mathbf {n} =\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial n}}}
con
∂
φ
/
∂
n
{\displaystyle \partial \varphi /\partial n}
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
integrazione per parti , con
ψ
{\displaystyle \psi }
gradiente di
φ
{\displaystyle \varphi }
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
La prima identità di Green è un caso particolare della più generale identità ottenuta dal teorema della divergenza sostituendo
F
=
ψ
Γ
{\displaystyle \mathbf {F} =\psi \mathbf {\Gamma } }
∫
U
(
ψ
∇
⋅
Γ
+
Γ
⋅
∇
ψ
)
d
V
=
∮
∂
U
ψ
(
Γ
⋅
n
)
d
S
{\displaystyle \int _{U}\left(\psi \nabla \cdot \mathbf {\Gamma } +\mathbf {\Gamma } \cdot \nabla \psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\mathbf {\Gamma } \cdot \mathbf {n} \right)\,dS}
Se
φ
{\displaystyle \varphi }
ψ
{\displaystyle \psi }
U
⊂
R
3
{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{3}}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
F
=
ψ
ε
∇
φ
−
φ
ε
∇
ψ
{\displaystyle \mathbf {F} =\psi \varepsilon \nabla \varphi -\varphi \varepsilon \nabla \psi }
[ 2]
∫
U
[
ψ
∇
⋅
(
ε
∇
φ
)
−
φ
∇
⋅
(
ε
∇
ψ
)
]
d
V
=
∮
∂
U
ε
(
ψ
∂
φ
∂
n
−
φ
∂
ψ
∂
n
)
d
S
{\displaystyle \int _{U}\left[\psi \nabla \cdot \left(\varepsilon \nabla \varphi \right)-\varphi \nabla \cdot \left(\varepsilon \nabla \psi \right)\right]\,dV=\oint _{\partial U}\varepsilon \left(\psi {\partial \varphi \over \partial n}-\varphi {\partial \psi \over \partial n}\right)\,dS}
Nel caso particolare in cui
ε
=
1
{\displaystyle \varepsilon =1}
∫
U
(
ψ
∇
2
φ
−
φ
∇
2
ψ
)
d
V
=
∮
∂
U
(
ψ
∂
φ
∂
n
−
φ
∂
ψ
∂
n
)
d
S
{\displaystyle \int _{U}\left(\psi \nabla ^{2}\varphi -\varphi \nabla ^{2}\psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi {\partial \varphi \over \partial n}-\varphi {\partial \psi \over \partial n}\right)dS}
La terza identità di Green deriva dalla seconda ponendo
φ
=
G
{\displaystyle \varphi =G}
G
{\displaystyle G}
funzione di Green del laplaciano . Questo significa che:
∇
2
G
(
x
,
η
)
=
δ
(
x
−
η
)
{\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {\eta } )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {\eta } )}
Ad esempio in
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
G
(
x
,
η
)
=
−
1
4
π
‖
x
−
η
‖
{\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {\eta } )={-1 \over 4\pi \|\mathbf {x} -\mathbf {\eta } \|}}
La terza identità afferma che se
ψ
{\displaystyle \psi }
U
{\displaystyle U}
∫
U
[
G
(
y
,
η
)
∇
2
ψ
(
y
)
]
d
V
y
−
ψ
(
η
)
=
∮
∂
U
[
G
(
y
,
η
)
∂
ψ
∂
n
(
y
)
−
ψ
(
y
)
∂
G
(
y
,
η
)
∂
n
]
d
S
y
{\displaystyle \int _{U}\left[G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } )\nabla ^{2}\psi (\mathbf {y} )\right]\,dV_{\mathbf {y} }-\psi (\mathbf {\eta } )=\oint _{\partial U}\left[G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ){\partial \psi \over \partial n}(\mathbf {y} )-\psi (\mathbf {y} ){\partial G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ) \over \partial n}\right]\,dS_{\mathbf {y} }}
Nel caso in cui
ψ
{\displaystyle \psi }
funzione armonica , ovvero è essa stessa soluzione dell'equazione di Laplace , allora
∇
2
ψ
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0}
ψ
(
η
)
=
∮
∂
U
[
ψ
(
y
)
∂
G
(
y
,
η
)
∂
n
−
G
(
y
,
η
)
∂
ψ
∂
n
(
y
)
]
d
S
y
{\displaystyle \psi (\mathbf {\eta } )=\oint _{\partial U}\left[\psi (\mathbf {y} ){\partial G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ) \over \partial n}-G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ){\partial \psi \over \partial n}(\mathbf {y} )\right]\,dS_{\mathbf {y} }}
Il secondo termine nel precedente integrale può essere eliminato scegliendo
G
{\displaystyle G}
U
{\displaystyle U}
ψ
(
η
)
=
∮
∂
U
ψ
(
y
)
∂
G
(
y
,
η
)
∂
n
d
S
y
{\displaystyle \psi (\mathbf {\eta } )=\oint _{\partial U}\psi (\mathbf {y} ){\partial G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ) \over \partial n}\,dS_{\mathbf {y} }}
Tale forma è usata per costruire soluzioni al problema delle condizioni al contorno di Dirichlet , mentre per le condizioni al contorno di Neumann si utilizza invece la funzione di Green il cui gradiente si annulla sulla frontiera.
![{\displaystyle \int _{U}\left[\psi \nabla \cdot \left(\varepsilon \nabla \varphi \right)-\varphi \nabla \cdot \left(\varepsilon \nabla \psi \right)\right]\,dV=\oint _{\partial U}\varepsilon \left(\psi {\partial \varphi \over \partial n}-\varphi {\partial \psi \over \partial n}\right)\,dS}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e35a3e35746a758216db0f0fe756a7d6cc58fbb2)
![{\displaystyle \int _{U}\left[G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } )\nabla ^{2}\psi (\mathbf {y} )\right]\,dV_{\mathbf {y} }-\psi (\mathbf {\eta } )=\oint _{\partial U}\left[G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ){\partial \psi \over \partial n}(\mathbf {y} )-\psi (\mathbf {y} ){\partial G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ) \over \partial n}\right]\,dS_{\mathbf {y} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2753251a5c8bac3544b52c1f2ea6047b83bb46dd)
![{\displaystyle \psi (\mathbf {\eta } )=\oint _{\partial U}\left[\psi (\mathbf {y} ){\partial G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ) \over \partial n}-G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ){\partial \psi \over \partial n}(\mathbf {y} )\right]\,dS_{\mathbf {y} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/996157c58423fcfcd27d2653079af21a9414b325)
