Insieme localmente chiuso

In matematica, un sottoinsieme $S$ di uno spazio topologico $(X,\mathrm {T} )$ si dice localmente chiuso se soddisfa le seguenti condizioni equivalenti:

• $S$ è aperto nella sua chiusura;
• $S$ è aperto in un chiuso di $X$;
• $S$ è chiuso in un aperto di $X$;
• per ogni punto $x$ di $S$ esiste un intorno aperto $U$ di x tale che $S\cap U$ è chiuso in $U$;
• $S$ è intersezione di un aperto e un chiuso di $X$.

Osservazioni

Se $S$ è un sottoinsieme localmente chiuso di $X$, allora l'insieme $\Omega =(X\setminus {\bar {S}})\cup S$ è il più grande aperto di $X$ in cui $S$ è chiuso. Infatti, se $A$ è un altro aperto in cui $S$ è chiuso risulta $S={\bar {S}}\cap A$ e quindi $\Omega =(X\setminus {\bar {S}})\cup ({\bar {S}}\cap A)=((X\setminus {\bar {S}})\cup {\bar {S}}))\cap ((X\setminus {\bar {S}})\cup A)=(X\setminus {\bar {S}})\cup A$ per cui $\Omega$ è aperto e $A\subseteq \Omega$.

Esempi

• Nella retta reale, l'intervallo [0, 1) è localmente chiuso, in quanto intersezione dell'aperto (-a, 1) e del chiuso [0, 1+a] (con a>0).
• Il sottoinsieme $A=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y>0,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}\cup \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y\leq 0,\ x^{2}+y^{2}<1\}$ di $\mathbb {R} ^{2}$ munito della usuale topologia euclidea è localmente chiuso.
• Ogni sottovarietà differenziabile di $\mathbb {R} ^{n}$ è uno spazio localmente chiuso.

Voci correlate

• Insieme aperto
• Insieme chiuso
• Chiusura (topologia) di un insieme
• Intorno topologico.