Punti antipodali (matematica)

I punti antipodali su una sfera generalizzano il concetto geografico di punti antipodali sulla Terra anche a sfere di dimensioni arbitrarie.

Definizione

Una sfera di dimensione $n$ è descritta dall'equazione

$x_{1}^{2}+\ldots +x_{n+1}^{2}=1$

nello spazio euclideo $(n+1)$-dimensionale $\mathbb {R} ^{n+1}$.

Il punto antipodale ad un punto $(x_{1},\ldots ,x_{n+1})$ è il punto $(-x_{1},\ldots ,-x_{n+1})$: tutte le coordinate cambiano cioè di segno.

Spazio quoziente

Lo spazio quoziente rispetto alla relazione di equivalenza di antipodalità è lo spazio proiettivo reale, oggetto fondamentale della geometria proiettiva.

Mappa antipodale

La funzione che associa ad ogni punto di una sfera il suo antipodale è detta mappa antipodale.

La mappa antipodale preserva l'orientazione della sfera se e solo se $n$ è dispari. Infatti la funzione è la restrizione della funzione lineare

$f:\mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R} ^{n+1}$

$f:x\mapsto -x$

associata alla matrice $-I$ opposta alla matrice identità $I$. Il determinante di questa matrice è $(-1)^{n+1}$, ed il suo segno è quindi effettivamente positivo solo per $n$ dispari.

Per questo motivo, lo spazio proiettivo è orientabile solo per $n$ dispari.

Teorema di Borsuk-Ulam

Il teorema di Borsuk-Ulam è un risultato di topologia riguardante i punti antipodali in dimensione arbitraria: asserisce che ogni funzione continua da una sfera in uno spazio euclideo della stessa dimensione manda due punti antipodali sullo stesso punto (in particolare, non può essere iniettiva).

Voci correlate

• Spazio proiettivo
• Teorema di Borsuk-Ulam