Polinomio caratteristico

In algebra lineare il polinomio caratteristico di una matrice quadrata su un campo è un polinomio definito a partire dalla matrice che ne descrive molte proprietà essenziali.

Il polinomio caratteristico è un oggetto che dipende solo dalla classe di similitudine di una matrice, e pertanto fornisce molte informazioni sulla natura intrinseca delle trasformazioni lineari, caratterizzate attraverso la traccia e il determinante. In particolare, le radici del polinomio sono gli autovalori della trasformazione lineare associata alla matrice. I coefficienti del polinomio sono pertanto detti invarianti della matrice e dell'applicazione ad essa associata.

Il polinomio è anche utilizzato per determinare la forma canonica di luoghi geometrici esprimibili mediante matrici, come coniche e quadriche.

Definizione

Sia $A$ una matrice quadrata a valori in un campo $K$ . Il polinomio caratteristico di $A$ nella variabile $x$ è il polinomio definito nel modo seguente:^[1]

p_{A}(x)=\det(A-xI),

cioè è il determinante della matrice $A-xI$ , ottenuta sommando $A$ e $-xI$ . Qui $I$ denota la matrice identità, avente la stessa dimensione di $A$ , e quindi $-xI$ è la matrice diagonale avente il valore $-x$ su ciascuna delle $n$ caselle della diagonale principale.

In particolare, $x$ è autovalore di $A$ se e solo se è radice del suo polinomio caratteristico.^[2]

Grado e coefficienti del polinomio

Sia $A$ una matrice quadrata di ordine $n$ . Il polinomio caratteristico di $A$ ha grado $n$ . Alcuni dei suoi coefficienti sono (a meno di segno) quantità notevoli per la matrice, come la traccia ed il determinante:

p_{A}(x)=(-1)^{n}x^{n}+(-1)^{n-1}\mathrm {tr} (A)x^{n-1}+\ldots +\det A.

Il coefficiente di $x^{k}$ del polinomio è la somma moltiplicata per $(-1)^{k}$ dei ${n \choose k}$ determinanti dei minori $(n-k)\times (n-k)$ "centrati" sulla diagonale.

Ad esempio, se $A$ è una matrice 2 per 2 si ha:

p_{A}(x)=x^{2}-{\textrm {tr}}(A)x+\det A.

Autovalori

Le radici in $K$ del polinomio caratteristico sono gli autovalori di $A$ .^[2]

Questo si dimostra formalmente ponendo $v$ autovettore di $A$ . Si ha allora $Av=\lambda v$ , ed in particolare:

(A-\lambda I)v=0.

Si ha quindi che il nucleo dell'applicazione $(A-\lambda I)$ è non nullo se $\lambda$ è autovalore, e tale condizione è soddisfatta se e solo se:

\det(A-\lambda I)=0.

Se $A$ è una matrice triangolare (superiore o inferiore) avente i valori $a_{1,1},\ldots ,a_{n,n}$ sulla diagonale principale, allora:

p_{A}(x)=(a_{1,1}-x)\cdots (a_{n,n}-x).

Quindi il polinomio caratteristico di una matrice triangolare ha $n$ radici nel campo, date dai valori nella diagonale principale. In particolare, questo fatto è vero per le matrici diagonali.

Invarianza per similitudine e diagonalizzabilità

Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.^[3] Infatti, se:

A=M^{-1}BM

per qualche matrice invertibile $M$ , si ottiene:

{\begin{aligned}p_{A}(x)&=\det(A-xI)=\det(M^{-1}BM-xI)\\&=\det(M^{-1}BM-xM^{-1}M)=\det(M^{-1}BM-M^{-1}(xI)M)=\det(M^{-1}(B-xI)M)\\&=\det(M^{-1})\det(B-xI)\det M=(\det M)^{-1}p_{B}(x)\det M=p_{B}(x).\end{aligned}}

In tale catena di uguaglianze si fa uso del fatto che la matrice della forma $xI$ commuta con qualsiasi altra e del teorema di Binet (con l'accortezza di averne dimostrato una versione che funziona per matrici a coefficienti nell'anello dei polinomi a coefficienti nel campo)^[4].

Poiché due matrici che rappresentano un endomorfismo $T$ di uno spazio vettoriale $V$ a dimensione finita sono simili, il polinomio caratteristico è una grandezza intrinseca di $T$ che riassume molte delle caratteristiche dell'endomorfismo considerato, come traccia, determinante ed autovalori. Come conseguenza di questo fatto si ha che $T$ è diagonalizzabile se esiste una base di $V$ rispetto alla quale la matrice che rappresenta $T$ è diagonale, e gli elementi della diagonale sono gli autovalori.^[5] In particolare, la base che diagonalizza $T$ è composta da suoi autovettori.

Il teorema di diagonalizzabilità fornisce, inoltre, un criterio necessario e sufficiente che permette di stabilire se un'applicazione lineare è diagonalizzabile. Una matrice quadrata $A$ con $n$ righe è diagonalizzabile se e solo se valgono entrambi i fatti seguenti:

La somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è $n$ , ossia il polinomio caratteristico può essere fattorizzato nel campo attraverso polinomi di primo grado.
Le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore sono coincidenti, ossia la dimensione degli autospazi è uguale alla molteplicità con la quale il relativo autovalore è radice del polinomio caratteristico. Poiché la molteplicità geometrica è sempre minore o uguale di quella algebrica, se l'applicazione ha $n$ autovalori distinti nel campo, allora è diagonalizzabile.