Raggio idraulico

Il raggio idraulico è un parametro che, con riferimento alla geometria di una determinata sezione trasversale, viene utilizzato nel dimensionamento di canali, condotte e altre opere idrauliche.

Definizione

Il raggio idraulico, generalmente indicato con $R_{h}$ , è definito dalla seguente relazione:^[1]

$R_{h}={\frac {A}{P}}$

dove:

$A$ è l'area bagnata nella sezione trasversale, in m²;
$P$ è il perimetro, o contorno bagnato nella sezione trasversale, in metri.

Proprietà

La corrente fluida che scorre in due sezioni trasversali di geometria differente ma con lo stesso raggio idraulico e cadente piezometrica, applica uno sforzo tangenziale sulla parete di uguale intensità;^[2] infatti lo sforzo tangenziale nella sezione è dato da^[3] $\tau =\gamma _{w}\cdot R_{h}\cdot J$ , essendo $\gamma _{w}$ il peso specifico dell'acqua e $J$ la cadente.

Esempi di calcolo

Nelle condotte in pressione a sezione circolare

Condotto in pressione con indicazione del diametro interno (Di)

Nelle condotte in pressione a sezione circolare di diametro interno $D_{i}$ , il perimetro bagnato è uguale alla circonferenza interna della sezione trasversale, cioè $P=D_{i}\cdot \pi$ , l'area bagnata è uguale all'area della sezione trasversale, cioè $A=(D_{i}/2)^{2}\cdot \pi$ , pertanto il raggio idraulico è:^[1]

$\ R_{h}={\frac {D_{i}}{4}}$

Nelle correnti a pelo libero

Nelle correnti a pelo libero, quindi in canali, nei fiumi o in condotte non in pressione, nel calcolo del perimetro bagnato bisogna considerare l'andamento geometrico della sezione trasversale senza tenere conto della parte superiore a diretto contatto con l'atmosfera.^[4]

Di seguito si riportano i casi particolari di sezione trasversale rettangolare, trapezia e circolare, oltre che il caso di sezione irregolare.

Sezione rettangolare

Canale a pelo libero a sezione rettangolare con indicazione del livello idrico (h) e della larghezza del fondo (B)

In una sezione rettangolare di larghezza $B$ , in cui il tirante idraulico sia $h$ , il perimetro bagnato è $P=B+2\cdot h$ , l'area bagnata è $A=B\cdot h$ , pertanto il raggio idraulico è:

$\ R_{h}={\frac {B\cdot h}{B+2\cdot h}}$

Se la sezione è molto larga, cioè $B\gg h$ , quindi $h/B\approx {0}$ , allora si può scrivere:^[4]

$\ R_{h}={\frac {B\cdot h}{B+2\cdot h}}={\frac {h\cdot B}{B\cdot (1+2\cdot h/B)}}={\frac {h}{(1+2\cdot h/B)}}\approx {h}$

Sezione trapezia

Canale a pelo libero a sezione trapezia con indicazione del livello idrico (h), della larghezza del fondo (B) e dell'angolo di inclinazione delle sponde (α)

Considerando una sezione trasversale di forma trapezia, di base minore $B$ (lato piano di fondo), con le due pareti laterali inclinate rispetto all'orizzontale di $\tan(\alpha )$ , essendo $\alpha \in [0;\pi /2]$ l'angolo che esse formano con li piano orizzontale, e con tirante idraulico $h$ , si ha che il perimetro bagnato è $P=B+2\cdot h/\sin(\alpha )$ , e che l'area bagnata è ${\textstyle A=h\cdot B+h^{2}/\tan(\alpha )}$ , perciò:^[4]

R_{h}={\frac {h\cdot B+h^{2}/\tan(\alpha )}{B+2\cdot h/\sin(\alpha )}}

Per $\alpha =\pi /2$ si ha il caso di sezione rettangolare^[5].

Sezione circolare

Condotta a pelo libero a sezione circolare con indicazione del diametro interno (Di), del livello idrico (h) e dell'angolo al centro (α)

Considerando la sezione trasversale di un condotto circolare a pelo libero, si ha che il perimetro bagnato^[6] è $P=\alpha \cdot D_{i}/2$ , e che l'area bagnata è^[7] ${\textstyle A={\frac {\alpha -\sin(\alpha )}{8}}\cdot D_{i}^{2}}$ , quindi:^[4]

R_{h}={\frac {\alpha -\sin(\alpha )}{\alpha }}\cdot {\frac {D_{i}}{4}}

dove:

$D_{i}$ è il diametro interno del condotto in metri;
$\alpha \in [0;2\pi ]$ è l'angolo al centro in radianti, del condotto, riferito alla corda costituita dalla larghezza del pelo libero, funzione del tirante idrico nella sezione^[8] attraverso la relazione $\alpha =2\cdot \arccos(1-2\cdot h/D_{i})$ .

Sezione irregolare

Nel caso di alvei naturali di sezione irregolare, si considera la somma di ogni singola parte separabile, che sia un rettangolo, un triangolo o un trapezio.^{[non chiaro]}

Note

^ ^a ^b Çengel et al. (2007), p. 251.
^ Çengel et al. (2007), p. 434.
^ Citrini et al. (1987), p. 176.
^ ^a ^b ^c ^d Çengel et al. (2007), p. 435.
^ infatti: $1/\tan(\pi /2)=0$ ; $\sin(\pi /2)=1$
^ essendo pari alla lunghezza dell'arco di circonferenza
^ essendo $A$ pari alla differenza tra l'area del settore circolare $A_{1}=\alpha /2\cdot (D_{i}/2)^{2}$ e l'area $A_{2}$ del triangolo isoscele di lati $D_{i}/2$ , e angolo al centro $\alpha$ , cioè $A_{2}={\frac {1}{2}}\cdot (D_{i}/2)^{2}\cdot \sin(\alpha )$ , ottenuta dal calcolo trigonometrico. Dato che $A_{2}$ è funzione di $\sin(\alpha )$ , quando $\alpha \in [0;\pi )$ allora $A_{2}>0$ e si sottrae automaticamente ad $A$ , mentre quando $\alpha \in (\pi ;2\pi ]$ allora $A_{2}<0$ e si somma automaticamente ad $A$ . Quando $\alpha =\pi$ allora $A_{2}=0$ quindi $A=A_{1}$ .
^ essendo $h$ la saetta relativa alla corda costituita dalla larghezza del pelo libero

Bibliografia

Yunus A. Çengel e John M. Cimbala, Meccanica dei fluidi, a cura di Giuseppe Cozzo e Cinzia Santoro, McGraw-Hill, 2007, ISBN 978-88-386-6384-0, OCLC 799749775.
Duilio Citrini e Giorgio Noseda, Idraulica, 2ª ed., Milano, Casa Editrice Ambrosiana, 1987, ISBN 8808081044.

Voci correlate

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[C251-1] Çengel et al. (2007), p. 251.

[2] Çengel et al. (2007), p. 434.

[3] Citrini et al. (1987), p. 176.

[C435-4] Çengel et al. (2007), p. 435.

[5] tti: $1/\tan(\pi /2)=0$ ; $\sin(\pi /2)=1$

[6] ssendo pari alla lunghezza dell'arco di circonferenza

[7] ssendo $A$ pari alla differenza tra l'area del settore circolare $A_{1}=\alpha /2\cdot (D_{i}/2)^{2}$ e l'area $A_{2}$ del triangolo isoscele di lati $D_{i}/2$ , e angolo al centro $\alpha$ , cioè $A_{2}={\frac {1}{2}}\cdot (D_{i}/2)^{2}\cdot \sin(\alpha )$ , ottenuta dal calcolo trigonometrico. Dato che $A_{2}$ è funzione di $\sin(\alpha )$ , quando $\alpha \in [0;\pi )$ allora $A_{2}>0$ e si sottrae automaticamente ad $A$ , mentre quando $\alpha \in (\pi ;2\pi ]$ allora $A_{2}<0$ e si somma automaticamente ad $A$ . Quando $\alpha =\pi$ allora $A_{2}=0$ quindi $A=A_{1}$ .

[8] ssendo $h$ la saetta relativa alla corda costituita dalla larghezza del pelo libero

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