Rappresentazione spettrale di Källén-Lehmann
La rappresentazione spettrale di Källén-Lehmann fornisce una espressione generale per la funzione di correlazione a due punti di una teoria di campo interagente come una somma pesata di propagatori liberi. Fu scoperta da Gunnar Källén e Harry Lehmann indipendentemente[1][2]. Il propagatore di una teoria interagente può essere scritto come:
dove è la funzione di densità spettrale che dovrebbe essere definita positiva. In una teoria di gauge, quest'ultima condizione non può essere garantita, ma tuttavia si può comunque costruire un'analoga rappresentazione spettrale[3]. Questa formula è un utile strumento che permette di trattare le teorie di campo con un approccio non perturbativo.
Derivazione matematica
modificaPer derivare la rappresentazione spettrale per il propagatore di un campo , si consideri un insieme completo di stati , rispetto ai quali la funzione di correlazione a due punti può essere scritta come:
A questo punto si può usare l'invarianza di Poincaré dello stato di vuoto, come generalmente indicato nelle ipotesi fondamentali delle teorie di campo, per semplificare l'espressione precedente:
Si introduca la funzione di densità spettrale:
- .
Si è usato il fatto che la funzione a due punti, essendo una funzione di , può solo dipendere da . Inoltre tutti gli stati intermedi hanno e . È immediato capire che la funzione di densità spettrale è reale e positiva. Quindi, si può scrivere:
dove si è scambiato l'ordine di integrazione, passaggio da analizzare bene dal punto di vista matematico ma in questo contesto si possono tralasciare tutti gli eventuali problemi di questo scambio e scrivere quindi:
dove
- .
Dal teorema CPT si sa inoltre che è valida una espressione identica per e quindi si può arrivare all'espressione per il prodotto ordinato cronologicamente di campi:
dove adesso
è il propagatore della particella libera non interagente. A questo punto, ottenuto l'esatto propagatore dato dal prodotto cronologicamente ordinato della funzione a due punti, si è ottenuta la decomposizione spettrale.
Note
modifica- ^ Gunnar Källén, Helvetica Physica Acta, vol. 25, 1952, p. 417.
- ^ Harry Lehmann, Nuovo Cimento, vol. 11, 1954, p. 342.
- ^ Franco Strocchi, Selected Topics on the General Properties of Quantum Field Theory, Singapore, World Scientific, 1993, ISBN 981-02-1143-0.
Bibliografia
modifica- S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields: Volume I Foundations, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-55001-7.
- Michael Peskin e Daniel Schoeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Perseus Books Group, 1995, ISBN 0-201-50397-2.
- Jean Zinn-Justin, Quantum Field Theory and Critical Phenomena, 3rd, Clarendon Press, 1996, ISBN 0-19-851882-X.
Voci correlate
modificaCollegamenti esterni
modifica- The Tangent Bundle, su physics.thetangentbundle.net. URL consultato il 29 luglio 2019 (archiviato dall'url originale il 4 marzo 2016).