Regola della potenza

In analisi matematica, la regola della potenza è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione $h(x)=f(x)^{g(x)}$, dove $f(x)$ e $g(x)$ sono funzioni derivabili.

Definizione

La derivata della funzione $h(x)$, detta anche funzione composta esponenziale, può essere vista come il prodotto della funzione originaria per la derivata del prodotto $g(x)\cdot \ln(f(x))$.

$D\left[h(x)\right]=h(x)\cdot D\left[g(x)\cdot \ln(f(x))\right]=f(x)^{g(x)}\left[g'(x)\ln(f(x))+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}\right]$

Le notazioni $D\left[f(x)\right]$ e $f'(x)$ indicano il medesimo significato di derivata.

Dimostrazione

Si consideri l'identità iniziale $h(x)=f(x)^{g(x)}$. Applicando il logaritmo naturale ad ambo i membri si ottiene l'identità

$\ln(h(x))=\ln \left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)\cdot \ln(f(x))$

e derivando il tutto si ha

$D\left[\ln(h(x))\right]={\frac {h'(x)}{h(x)}}=D\left[g(x)\cdot \ln(f(x))\right]$.

Ne consegue che

$h'(x)=h(x)\cdot D\left[g(x)\cdot \ln(f(x))\right]$

da cui segue la tesi. cvd.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Regola della potenza, su MathWorld, Wolfram Research.