Segmento circolare

In geometria, un segmento circolare è una parte di cerchio delimitata da una secante (o corda). Una porzione di cerchio delimitata da due secanti parallele viene detto segmento circolare a due basi. Il segmento circolare viene anche detto segmento circolare a una base per distinguerlo da quello a due basi.

La corda o secante definisce due segmenti circolari, uno dei quali è contrassegnato in verde nell'illustrazione, mentre l'altro è in bianco.

Formula principale

La lunghezza del raggio è uguale alla somma delle due altezze: $R=h+d$ .

L'arco di circonferenza è $s=R\cdot \theta$ , con $\theta$ espresso in radianti.

L'area misura $A_{sg}={\frac {1}{2}}R^{2}\left(\theta -\sin \theta \right)$ . In alternativa, senza usare funzioni trigonometriche e senza angolo $\theta$ , conoscendo solo lunghezze: $A_{sg}={{R\left(s-c\right)+ch} \over 2}$ .

Dimostrazione

L'area si ottiene come differenza tra l'area del settore circolare e del triangolo inscritto ossia: ${\frac {1}{2}}R^{2}\theta -{\frac {1}{2}}(R^{2}\sin \theta )={\frac {1}{2}}R^{2}\left(\theta -\sin \theta \right)$ .

Per la corda (dal teorema della corda): $c=2R\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)$ .

L'altezza della porzione triangolare è $d=R\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)$ .

L'altezza del segmento è $h=R-d=R\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)$ .

Approssimazione dell'area

Poiché per $\alpha \in \left[0,{\frac {\pi }{4}}\right]$ è possibile approssimare la funzione $\sin \alpha$ utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor arrestato al 2° termine, ossia:

\sin \alpha \simeq \alpha -{\frac {\alpha ^{3}}{6}}.

Per $\theta \in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$ la lunghezza della corda $c$ si approssima con la seguente formula:

c=2R\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\simeq 2R\left({\frac {\theta }{2}}-{\frac {\theta ^{3}}{48}}\right)=R\theta \left(1-{\frac {\theta ^{2}}{24}}\right)=s\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{24}}\right),

dunque

c\simeq s\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{24}}\right).

Analogamente, noti $c$ e $s$ è possibile ricavare $\theta$ e $R,$ per $\theta \in \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]$ :

\theta \simeq {\sqrt {24\left(1-{\frac {c}{s}}\right)}}

R={\frac {s}{\theta }}\simeq {\frac {s}{\sqrt {24\left(1-{\frac {c}{s}}\right)}}}.

Area in funzione dell'altezza

Segmento circolare in funzione dell'altezza h

Calcolo dell'area del segmento in funzione dell'altezza $h$ .

L'area del settore è data da:

A_{st}={\frac {1}{2}}R^{2}\theta ;

\theta =2\arccos \left({\frac {R-h}{R}}\right);

A_{st}=R^{2}\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right).

L'area del triangolo isoscele è data dal prodotto del segmento $R-h$ per la semicorda del settore circolare:

A_{t}=\left(R-h\right){\sqrt {R^{2}-\left(R-h\right)^{2}}}.

L'area segmento $A_{sg}$ è data dalla differenza dell'area del settore e l'area del triangolo isoscele:

A_{sg}=A_{st}-A_{t}=R^{2}\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right)-\left(R-h\right){\sqrt {R^{2}-\left(R-h\right)^{2}}}.

L'area $A_{sg}$ è una funzione trascendente di $c$ e $h$ , quindi non può essere espressa in termini algebrici. Ma si può affermare che man mano che l'angolo al centro diventa più piccolo (o alternativamente il raggio diventa più grande), l'area $A_{sg}$ si avvicina rapidamente e asintoticamente a ${\frac {2}{3}}ch$ . Se $\theta \ll 1$ , allora $A_{sg}={\frac {2}{3}}ch$ è sostanzialmente una buona approssimazione.

Quando l'angolo al centro si avvicina a $\pi$ , l'area del segmento converge all'area di un semicerchio ${\frac {\pi R^{2}}{2}}$ , quindi una buona approssimazione è: