Notazione di Schläfli

In geometria multidimensionale si dice notazione di Schläfli o simbolo di Schläfli una notazione che si associa a un politopo regolare per presentarne concisamente le proprietà più importanti. Il termine prende il nome da Ludwig Schläfli, matematico svizzero che diede importanti contributi alla geometria multidimensionale e all'analisi. Questa notazione si attribuisce anche ad altre configurazioni geometriche con caratteristiche simili a quelle dei politopi.

Poligoni regolari (2 dimensioni)

La notazione di Schläfli per il poligono regolare con n lati è {n}. Ad esempio al pentagono regolare è attribuita la notazione {5}.

Vedi anche poligono regolare (convesso) e poligono stellato (non convesso). Ad esempio {5/2} è la notazione del pentagramma.

Poliedri regolari (3 dimensioni)

La notazione di Schläfli di un poliedro regolare ha la forma {p,q} e segnala che le sue facce sono p-agoni e in ogni suo vertice incidono q facce (ossia ogni figura al vertice è un q-agono).

Ad esempio {5,3} individua il dodecaedro regolare, in quanto caratterizzato da facce pentagonali e vertici di valenza 3. Vedi anche solido platonico e i 4 poliedri di Keplero-Poinsot non convessi.

Notazioni di Schläfli che seguono criteri simili si possono associare anche alle tassellazioni regolari della geometria euclidea e a quelle della geometria iperbolica.

Ad esempio la tassellazione esagonale è caratterizzata da {6,3}.

Policori regolari (4 dimensioni)

La notazione di Schläfli per un policoro regolare ha la forma {p,q,r}; questo dice che esso presenta facce poligonali regolari caratterizzate da p lati {p}, celle {p,q}, figure poliedrali di vertice {q,r}, e figure di spigolo poligonali regolari {r}.

Più dettagliatamente vedi i 6 4-politopi convessi regolari e i 10 policori non convessi.

Ad esempio la 120-cella è rappresentata dalla notazione {5,3,3}: questo politopo è costituito da celle {5,3} che sono dodecaedri e presenta 3 celle che incidono in ciascuno degli spigoli.

Esiste anche una tassellazione regolare dello spazio euclideo tridimensionale: la tassellazione cubica, la quale ha come notazione di Schläfli {4,3,4}: infatti presenta celle cubiche e in ogni spigolo incidono 4 cubi.

Esistono anche 4 tassellazioni regolari iperboliche, tra le quali quella caratterizzata da {5,3,4}, la piccola tassellazione iperbolica dodecaedrale, che riempie lo spazio di celle a forma di dodecaedro.

Bibliografia

• The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications ISBN 0486409198 (Chapter 3: Wythoff's construction for uniform polytopes, pp. 41–53)
• Norman W. Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
• Norman W. Johnson The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
• H.S.M. Coxeter; Regular Polytopes, (Methuen and Co., 1948). (pp. 14, 69, 149)
• H.S.M. Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, Uniform polyhedra, Phil. Trans. 1954, 246 A, pp. 401–50. (definizione della notazione di Schläfli estesa: Table 1, p. 403)

Voci correlate

• Lista dei politopi regolari

Collegamenti esterni

• Simboli di Schläfli su MathWorld
• Wythoff Symbol and generalized Schläfli Symbols, su bbs.sachina.pku.edu.cn. URL consultato il 15 marzo 2007 (archiviato dall'url originale il 22 maggio 2006).
• polyhedral names et notations, su ac-noumea.nc. URL consultato il 15 marzo 2007 (archiviato dall'url originale il 16 dicembre 2006).