Superficie conica

In matematica una superficie conica è una superficie generata dal movimento rigido di una retta detta generatrice lungo i punti di una circonferenza detta direttrice per un punto fisso detto vertice, non complanare con alla direttrice. Perciò, il punto di incontro di tutte le direttrici è il vertice, che divide ogni direttrice in due semirette e che divide la superficie in due falde.

Una superficie conica circolare

Si possono avere due tipi di coniche: quando delta è una conica, non degenere, viene generato il cosiddetto cono quadrico, altrimenti, cioè quando delta non è una curva conica, il cono viene detto cono generico.

Il cilindro viene considerato come caso particolare di cono avente vertice posto a distanza infinita.

Secondo il tipo di conica che ha un cono quadrico come propria direttrice retta, si ha la seguente classificazione:

• Cono circolare: si ottiene dal movimento di una retta $g$, detta generatrice, intorno a un'altra retta $a$, detta asse di rotazione, nella condizione in cui tali rette $g$ e $a$ siano tra loro complanari. In questo modo, sezionando tale cono con un piano perpendicolare all'asse $a$ e non passante per il suo vertice, si ha una circonferenza come direttrice retta dello stesso cono.
• Cono ellittico.
• Cono iperbolico.

Equazioni

Una superficie conica $S$ può essere descritta parametricamente come:

$S(t,u)=v+uq(t),$

con $v$ il vertice della superficie e $q$ la sua direttrice.

Una superficie conica circolare retta di apertura $2\theta$, l'asse della quale è l'asse delle $z$, e con vertice l'origine, è descritta dalla seguente parametrizzazione:

$S(t,u)=(u\sin \theta \cos t,u\sin \theta \sin t,u\cos \theta ),$

dove $t\in [0,2\pi )$ e $u\in (-\infty ,\infty )$. Nella forma implicita, la stessa superficie è descritta dall'equazione $S(x,y,z)=0$, dove:

$S(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.$

Più in generale, una superficie conica circolare retta, con vertice nell'origine e l'asse parallelo al vettore $\mathbf {d}$, di apertura $2\theta$, è data dall'equazione vettoriale implicita $S(\mathbf {x} )=0$, dove:

$S(\mathbf {x} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {d} )^{2}-(\mathbf {d} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )(\cos \theta )^{2},$

ossia:

$S(\mathbf {x} )=\mathbf {x} \cdot \mathbf {d} -|\mathbf {d} ||\mathbf {x} |\cos \theta ,$

dove $\mathbf {x} =(x,y,z)$, e $\mathbf {x} \cdot \mathbf {d}$ denota il prodotto scalare.

In $\mathbb {R} ^{3}$, una superficie conica con direttrice ellittica, è data dalla seguente equazione omogenea di grado 2:

$S(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+2uxy+2vyz+2wzx=0.$

Voci correlate

• Proiezione centrale
• Superficie rigata
• Superficie proiettiva
• Sezione conica

Collegamenti esterni

• Sezioni circolari di un cono ellittico, su assex.altervista.org.