In matematica , in particolare in analisi matematica e geometria , il teorema delle funzioni implicite è un importante strumento che stabilisce quando il luogo di zeri di un'equazione implicita si può esplicitare rispetto a una variabile.
Nella letteratura italiana, il teorema è generalmente detto teorema di Dini in onore del matematico Ulisse Dini , che contribuì ad estenderne la formulazione.[ 1]
Il teorema di Dini stabilisce che una funzione reale di classe
C
1
{\displaystyle C^{1}}
F
(
x
,
y
)
{\displaystyle F(x,y)}
definisce implicitamente un'unica funzione del tipo:
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
in un intorno di un punto
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
[ 2]
F
(
a
,
b
)
=
0
,
∂
F
∂
y
(
a
,
b
)
≠
0.
{\displaystyle F(a,b)=0,\qquad {\frac {\partial F}{\partial y}}(a,b)\neq 0.}
Il teorema di Dini fornisce quindi una condizione sufficiente affinché esista un'unica funzione
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
F
(
x
,
f
(
x
)
)
=
0
{\displaystyle F(x,f(x))=0}
sia soddisfatta al variare di
x
{\displaystyle x}
x
=
g
(
y
)
{\displaystyle x=g(y)}
F
(
g
(
y
)
,
y
)
=
0
{\displaystyle F(g(y),y)=0}
sia soddisfatta al variare di
y
{\displaystyle y}
Questo non significa che sia possibile esplicitare una delle due incognite in funzione dell'altra, ossia che sia possibile trovare
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
x
=
g
(
y
)
{\displaystyle x=g(y)}
Se ci si limita all'individuazione di particolari tipi di funzione, ad esempio quelle continue e definite su un intervallo, si può dimostrare anche la loro unicità, il che sancisce un'equivalenza formale tra la scrittura implicita
F
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle F(x,y)=0}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
x
=
g
(
y
)
{\displaystyle x=g(y)}
F
(
x
,
y
)
=
y
+
x
2
e
y
=
0
{\displaystyle F(x,y)=y+x^{2}e^{y}=0}
ben definisce un'unica funzione continua
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
x
{\displaystyle x}
Sia
F
:
G
⊂
R
2
→
R
{\displaystyle F\colon G\subset \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }
differenziabile e le cui derivate parziali prime siano funzioni continue . Sia inoltre
(
x
0
,
y
0
)
∈
G
{\displaystyle (x_{0},y_{0})\in G}
F
(
x
0
,
y
0
)
=
0
,
∂
F
∂
y
(
x
0
,
y
0
)
≠
0.
{\displaystyle F(x_{0},y_{0})=0,\qquad {\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0.}
Il teorema afferma che esiste una funzione derivabile reale:
g
:
[
x
0
−
h
,
x
0
+
h
]
→
[
y
0
−
k
,
y
0
+
k
]
,
h
,
k
>
0
,
h
,
k
∈
R
,
{\displaystyle g\colon [x_{0}-h,x_{0}+h]\to [y_{0}-k,y_{0}+k],\qquad h,k>0,\quad h,k\in \mathbb {R} ,}
la cui derivata prima sia continua. Inoltre, il grafico di
g
{\displaystyle g}
{
(
x
,
y
)
∈
G
:
F
(
x
,
y
)
=
0
}
{\displaystyle \{(x,y)\in G:F(x,y)=0\}}
che sono contenute nel rettangolo:
[
x
0
−
h
,
x
0
+
h
]
×
[
y
0
−
k
,
y
0
+
k
]
.
{\displaystyle [x_{0}-h,x_{0}+h]\times [y_{0}-k,y_{0}+k].}
Si consideri una funzione di classe C1
F
:
A
→
R
{\displaystyle F\colon A\to \mathbb {R} }
insieme aperto
A
⊆
R
2
{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{2}}
Z
=
{
(
x
,
y
)
∈
A
:
F
(
x
,
y
)
=
0
}
.
{\displaystyle Z=\{(x,y)\in A:F(x,y)=0\}.}
Se
Z
{\displaystyle Z}
vuoto esiste un punto
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
F
(
x
0
,
y
0
)
=
0.
{\displaystyle F(x_{0},y_{0})=0.}
Il teorema afferma che se
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
punto critico , ossia:
∇
F
(
x
0
,
y
0
)
≠
0
,
{\displaystyle \nabla F(x_{0},y_{0})\neq 0,}
allora esiste un intorno
U
{\displaystyle U}
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
Z
∩
U
{\displaystyle Z\cap U}
grafico di una funzione derivabile .
Questo equivale a dire che esiste un'unica funzione del tipo
y
=
y
(
x
)
{\displaystyle y=y(x)}
x
=
x
(
y
)
{\displaystyle x=x(y)}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
Sia
g
:
A
⊂
R
2
→
R
{\displaystyle g\colon A\subset \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }
funzione di classe
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
aperto
A
{\displaystyle A}
(
x
0
,
y
0
)
∈
A
{\displaystyle (x_{0},y_{0})\in A}
g
(
x
0
,
y
0
)
=
0
,
g
y
(
x
0
,
y
0
)
≠
0.
{\displaystyle g(x_{0},y_{0})=0,\qquad g_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0.}
Allora esistono un intervallo reale aperto
I
{\displaystyle I}
x
0
∈
I
{\displaystyle x_{0}\in I}
J
{\displaystyle J}
y
0
∈
J
{\displaystyle y_{0}\in J}
y
(
x
)
{\displaystyle y(x)}
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
I
{\displaystyle I}
J
{\displaystyle J}
y
(
x
0
)
=
y
0
,
y
′
(
x
0
)
=
−
(
g
x
(
x
0
,
y
0
)
g
y
(
x
0
,
y
0
)
)
{\displaystyle y(x_{0})=y_{0},\qquad y'(x_{0})=-\left({\frac {g_{x}(x_{0},y_{0})}{g_{y}(x_{0},y_{0})}}\right)}
e tali che per ogni
x
∈
I
,
y
∈
J
{\displaystyle x\in I,y\in J}
g
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle g(x,y)=0}
si verifica se e solo se:
y
=
y
(
x
)
.
{\displaystyle y=y(x).}
Scambiando i ruoli delle variabili si giunge a definire una funzione
x
=
x
(
y
)
{\displaystyle x=x(y)}
Sia data una funzione continua
g
:
A
⊂
R
2
→
R
{\displaystyle g\colon A\subset \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
A
{\displaystyle A}
∇
g
(
x
,
y
)
≠
0
{\displaystyle \nabla g(x,y)\neq 0}
g
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle g(x,y)=0}
curva di livello :
V
=
{
(
x
,
y
)
∈
A
:
g
(
x
,
y
)
=
0
}
.
{\displaystyle V=\{(x,y)\in A:g(x,y)=0\}.}
Sia
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
V
{\displaystyle V}
sviluppo al primo ordine di Taylor :
g
(
x
,
y
)
=
g
(
x
0
,
y
0
)
+
g
x
(
x
0
,
y
0
)
(
x
−
x
0
)
+
g
y
(
x
0
,
y
0
)
(
y
−
y
0
)
+
o
(
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
)
.
{\displaystyle g(x,y)=g(x_{0},y_{0})+g_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+g_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})+o({\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}).}
Tenendo conto che
g
(
x
0
,
y
0
)
=
0
{\displaystyle g(x_{0},y_{0})=0}
g
x
(
x
0
,
y
0
)
(
x
−
x
0
)
+
g
y
(
x
0
,
y
0
)
(
y
−
y
0
)
=
0.
{\displaystyle g_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+g_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})=0.}
Per ipotesi, tale equazione di primo grado ha almeno un coefficiente diverso da zero, e si può porre
g
y
(
x
0
,
y
0
)
≠
0
{\displaystyle g_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
y
=
y
0
−
g
x
(
x
0
,
y
0
)
g
y
(
x
0
,
y
0
)
(
x
−
x
0
)
.
{\displaystyle y=y_{0}-{\frac {g_{x}(x_{0},y_{0})}{g_{y}(x_{0},y_{0})}}(x-x_{0}).}
Il teorema mostra che l'errore nella formula di approssimazione al primo ordine non incide sulla possibilità di esprimere una variabile in funzione dell'altra.
La funzione ottenuta ha sviluppo al primo ordine:
y
=
y
0
−
g
x
(
x
0
,
y
0
)
g
y
(
x
0
,
y
0
)
(
x
−
x
0
)
+
o
(
x
−
x
0
)
.
{\displaystyle y=y_{0}-{\frac {g_{x}(x_{0},y_{0})}{g_{y}(x_{0},y_{0})}}(x-x_{0})+o(x-x_{0}).}
modifica
Sia data una funzione continua
g
:
A
⊆
R
2
→
R
{\displaystyle g\colon A\subseteq \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
A
{\displaystyle A}
(
x
0
,
y
0
)
∈
A
{\displaystyle (x_{0},y_{0})\in A}
g
(
x
0
,
y
0
)
=
0
,
g
y
(
x
0
,
y
0
)
≠
0
.
{\displaystyle {\begin{aligned}g(x_{0},y_{0})=0,\qquad g_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0\end{aligned}}.}
Sia definita la funzione
G
(
x
,
y
)
=
y
−
g
(
x
,
y
)
g
y
(
x
0
,
y
0
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y)=y-{\frac {g(x,y)}{g_{y}(x_{0},y_{0})}}\end{aligned}}.}
Allora
G
(
x
0
,
y
0
)
=
y
0
{\displaystyle G(x_{0},y_{0})=y_{0}}
G
(
x
,
y
)
=
y
{\displaystyle G(x,y)=y}
(
x
,
y
)
∈
I
×
J
{\displaystyle (x,y)\in I\times J}
g
(
x
,
y
)
{\displaystyle g(x,y)}
punto fisso della funzione
G
(
x
,
y
)
{\displaystyle G(x,y)}
Grazie al teorema delle contrazioni sappiamo che, definito
X
=
{
ψ
:
I
→
J
|
ψ
∈
C
0
}
.
{\displaystyle X=\{\psi \colon I\rightarrow J\;|\;\psi \in {\mathcal {C}}^{0}\}.}
Siccome
G
∈
X
{\displaystyle G\in X}
(
X
,
‖
⋅
‖
∞
)
{\displaystyle (X,\lVert \cdot \lVert _{\infty })}
spazio metrico completo , allora
∃
!
y
=
f
(
x
)
:
G
(
x
,
f
(
x
)
)
=
f
(
x
)
.
{\displaystyle \exists !\;y=f(x):G(x,f(x))=f(x).}
Sia
H
:
X
→
X
{\displaystyle H\colon X\rightarrow X}
w
↦
H
[
w
]
(
x
)
=
G
(
x
,
w
(
x
)
)
{\displaystyle w\mapsto H[w](x)=G(x,w(x))}
ci basta dimostrare che
H
{\displaystyle H}
H
[
w
]
∈
X
{\displaystyle H[w]\in X}
H
[
w
]
{\displaystyle H[w]}
I
;
{\displaystyle I;}
‖
H
[
w
]
−
y
0
‖
∞
≤
ε
.
{\displaystyle \lVert H[w]-y_{0}\rVert _{\infty }\leq \varepsilon .}
La prima è ovvia siccome l'operatore è composizione di funzioni continue. La seconda può essere dimostrata tramite una catena di disuguaglianze:
‖
H
[
w
]
−
y
0
‖
∞
=
‖
G
(
x
,
w
(
x
)
)
−
G
(
x
0
,
y
0
)
‖
∞
≤
‖
G
(
x
,
w
(
x
)
)
−
G
(
x
,
y
0
)
‖
∞
+
‖
G
(
x
,
y
0
)
−
G
(
x
0
,
y
0
)
‖
∞
=
=
‖
G
(
x
,
w
(
x
)
)
−
G
(
x
,
y
0
)
‖
∞
+
‖
y
0
−
g
(
x
,
y
0
)
g
y
(
x
0
,
y
0
)
−
y
0
‖
∞
≤
‖
G
y
(
x
,
ξ
y
)
(
w
(
x
)
−
y
0
)
‖
∞
+
‖
g
(
x
,
y
0
)
‖
∞
|
g
y
(
x
0
,
y
0
)
|
≤
≤
sup
ξ
y
∈
J
|
G
y
(
x
,
ξ
y
)
|
‖
w
(
x
)
−
y
0
‖
∞
+
‖
g
(
x
,
y
0
)
‖
∞
|
g
y
(
x
0
,
y
0
)
|
≤
ε
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&\lVert H[w]-y_{0}\rVert _{\infty }=\lVert G(x,w(x))-G(x_{0},y_{0})\lVert _{\infty }\leq \lVert G(x,w(x))-G(x,y_{0})\lVert _{\infty }+\lVert G(x,y_{0})-G(x_{0},y_{0})\lVert _{\infty }=\\[10pt]&=\lVert G(x,w(x))-G(x,y_{0})\lVert _{\infty }+\lVert y_{0}-{\frac {g(x,y_{0})}{g_{y}(x_{0},y_{0})}}-y_{0}\lVert _{\infty }\leq \lVert G_{y}(x,\xi _{y})(w(x)-y_{0})\lVert _{\infty }+{\frac {\lVert g(x,y_{0})\lVert _{\infty }}{|g_{y}(x_{0},y_{0})|}}\leq \\[10pt]&\leq {\underset {\xi _{y}\in J}{\sup }}|G_{y}(x,\xi _{y})|\lVert w(x)-y_{0}\lVert _{\infty }+{\frac {\lVert g(x,y_{0})\lVert _{\infty }}{|g_{y}(x_{0},y_{0})|}}\leq \varepsilon ,\end{aligned}}}
dove si è applicato il teorema di Lagrange ed il fatto che
sup
ξ
y
∈
J
G
y
(
x
,
ξ
y
)
≤
1
2
poiché
h
,
k
possono essere piccoli a piacimento
‖
w
(
x
)
−
y
0
‖
∞
≤
ε
poiché
w
(
x
)
∈
X
‖
g
(
x
,
y
0
)
‖
∞
|
g
y
(
x
0
,
y
0
)
|
≤
ε
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {\xi _{y}\in J}{\sup }}G_{y}(x,\xi _{y})\leq {1 \over 2}\;\;{\text{ poiché }}h,k\;{\text{ possono essere piccoli a piacimento}}\\[10pt]&\lVert w(x)-y_{0}\lVert _{\infty }\leq \varepsilon \;\;{\text{ poiché }}w(x)\in X\\[10pt]&{\frac {\lVert g(x,y_{0})\lVert _{\infty }}{|g_{y}(x_{0},y_{0})|}}\leq {\varepsilon \over 2}.\end{aligned}}}
Ora basta dimostrare che
H
{\displaystyle H}
‖
H
[
w
]
−
H
[
v
]
‖
∞
=
‖
G
(
x
,
w
(
x
)
)
−
G
(
x
,
h
(
x
)
)
‖
∞
≤
sup
ξ
∈
J
|
G
(
x
,
ξ
)
|
‖
w
−
v
‖
∞
≤
1
2
‖
w
−
v
‖
∞
.
{\displaystyle \lVert H[w]-H[v]\lVert _{\infty }=\lVert G(x,w(x))-G(x,h(x))\lVert _{\infty }\leq {\underset {\xi \in J}{\sup }}|G(x,\xi )|\lVert w-v\lVert _{\infty }\leq {1 \over 2}\lVert w-v\lVert _{\infty }.}
Sia
f
:
E
⊂
R
n
+
m
→
R
n
{\displaystyle \mathbf {f} \colon E\subset \mathbb {R} ^{n+m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
R
n
+
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m}}
R
n
×
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}}
(
x
,
y
)
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
,
y
1
,
y
2
,
…
,
y
m
)
{\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m})}
(
a
,
b
)
=
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
,
b
1
,
b
2
,
…
,
b
m
)
∈
E
{\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m})\in E}
f
(
a
,
b
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=0}
Data la matrice jacobiana di
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
(
a
,
b
)
{\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}
(
D
f
)
(
a
,
b
)
=
[
∂
f
1
∂
x
1
(
a
,
b
)
⋯
∂
f
1
∂
x
n
(
a
,
b
)
⋮
⋱
⋮
∂
f
n
∂
x
1
(
a
,
b
)
⋯
∂
f
n
∂
x
n
(
a
,
b
)
|
∂
f
1
∂
y
1
(
a
,
b
)
⋯
∂
f
1
∂
y
m
(
a
,
b
)
⋮
⋱
⋮
∂
f
n
∂
y
1
(
a
,
b
)
⋯
∂
f
n
∂
y
m
(
a
,
b
)
]
=
[
X
|
Y
]
,
{\displaystyle {\begin{matrix}(D\mathbf {f} )(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&=&\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]={\begin{bmatrix}X&|&Y\end{bmatrix}}\\\end{matrix}},}
si supponga che
X
{\displaystyle X}
Il teorema delle funzioni implicite afferma che vi sono due insiemi aperti
U
⊂
R
n
+
m
{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n+m}}
V
⊂
R
m
{\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{m}}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
y
∈
V
{\displaystyle \mathbf {y} \in V}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
(
x
,
y
)
∈
U
{\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U}
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0}
g
:
V
→
R
n
{\displaystyle \mathbf {g} \colon V\to \mathbb {R} ^{n}}
g
(
y
)
=
x
{\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {y} )=\mathbf {x} }
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
[ 3]
g
(
b
)
=
a
,
(
D
g
)
(
b
)
=
−
X
−
1
Y
,
{\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {b} )=\mathbf {a} ,\qquad (D\mathbf {g} )(\mathbf {b} )=-X^{-1}Y,}
dove
(
D
g
)
(
b
)
{\displaystyle (D\mathbf {g} )(\mathbf {b} )}
g
{\displaystyle \mathbf {g} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
f
(
g
(
y
)
,
y
)
=
0
,
y
∈
V
,
{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {g} (\mathbf {y} ),\mathbf {y} )=0,\qquad \mathbf {y} \in V,}
definisce implicitamente
g
{\displaystyle \mathbf {g} }
Il teorema stabilisce quindi che il sistema
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} }
{
f
1
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
,
y
1
,
y
2
,
⋯
,
y
m
)
=
0
f
2
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
,
y
1
,
y
2
,
⋯
,
y
m
)
=
0
⋮
f
n
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
,
y
1
,
y
2
,
⋯
,
y
m
)
=
0
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m})=0\\f_{2}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m})=0\\\vdots \\f_{n}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m})=0\\\end{matrix}}\right.}
può essere risolto esplicitando
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}
(
y
1
,
y
2
,
⋯
,
y
m
)
{\displaystyle (y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m})}
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
(
a
,
b
)
{\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}
X
{\displaystyle X}
[ 4]
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
funzioni analitiche .
Il teorema si estende anche agli spazi di Banach .
Walter Rudin, Principi di analisi matematica , Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1 . V.Barutello, M.Conti, D.L.Ferrario, S.Terracini, G.Verzini, Analisi matematica. Con elementi di geometria e calcolo vettoriale , Apogeo Editore, 2008, ISBN 8850324235 . 
![{\displaystyle g\colon [x_{0}-h,x_{0}+h]\to [y_{0}-k,y_{0}+k],\qquad h,k>0,\quad h,k\in \mathbb {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9c2b6caa5ca92c4882237b7ec9f00c7c8e0b6ad)
![{\displaystyle [x_{0}-h,x_{0}+h]\times [y_{0}-k,y_{0}+k].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6be7899dcbaeb9642865a3d485a5fa1cb9d132a)
=G(x,w(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f65381bff567c5a040fa8f958ac05aa1a225c61)
![{\displaystyle H[w]\in X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e160fe44ddf5e4e23bb4a37725f02fe38e3a7db)
![{\displaystyle H[w]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a46ea5d844a99ddbcf8ef79027699894a401fa99)
![{\displaystyle \lVert H[w]-y_{0}\rVert _{\infty }\leq \varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7dbaec49553efd6b5f60219526aa51072d0b138)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\lVert H[w]-y_{0}\rVert _{\infty }=\lVert G(x,w(x))-G(x_{0},y_{0})\lVert _{\infty }\leq \lVert G(x,w(x))-G(x,y_{0})\lVert _{\infty }+\lVert G(x,y_{0})-G(x_{0},y_{0})\lVert _{\infty }=\\[10pt]&=\lVert G(x,w(x))-G(x,y_{0})\lVert _{\infty }+\lVert y_{0}-{\frac {g(x,y_{0})}{g_{y}(x_{0},y_{0})}}-y_{0}\lVert _{\infty }\leq \lVert G_{y}(x,\xi _{y})(w(x)-y_{0})\lVert _{\infty }+{\frac {\lVert g(x,y_{0})\lVert _{\infty }}{|g_{y}(x_{0},y_{0})|}}\leq \\[10pt]&\leq {\underset {\xi _{y}\in J}{\sup }}|G_{y}(x,\xi _{y})|\lVert w(x)-y_{0}\lVert _{\infty }+{\frac {\lVert g(x,y_{0})\lVert _{\infty }}{|g_{y}(x_{0},y_{0})|}}\leq \varepsilon ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b46ec86e3a747c1dfc0c5a989c6cf6f1335d789)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {\xi _{y}\in J}{\sup }}G_{y}(x,\xi _{y})\leq {1 \over 2}\;\;{\text{ poiché }}h,k\;{\text{ possono essere piccoli a piacimento}}\\[10pt]&\lVert w(x)-y_{0}\lVert _{\infty }\leq \varepsilon \;\;{\text{ poiché }}w(x)\in X\\[10pt]&{\frac {\lVert g(x,y_{0})\lVert _{\infty }}{|g_{y}(x_{0},y_{0})|}}\leq {\varepsilon \over 2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56a73f1812629b219e45994e89844a97f4e536a0)
![{\displaystyle \lVert H[w]-H[v]\lVert _{\infty }=\lVert G(x,w(x))-G(x,h(x))\lVert _{\infty }\leq {\underset {\xi \in J}{\sup }}|G(x,\xi )|\lVert w-v\lVert _{\infty }\leq {1 \over 2}\lVert w-v\lVert _{\infty }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd3e1cfb0f0ac1c094cee5a6f9bf12e46a943f5)
![{\displaystyle {\begin{matrix}(D\mathbf {f} )(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&=&\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]={\begin{bmatrix}X&|&Y\end{bmatrix}}\\\end{matrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3565574ad731c74d06a2efea0259f7285850bf7)
