Teorema della traccia

Il teorema della traccia è un importante risultato di analisi funzionale che permette di definire il restringimento ad un dominio una funzione definita quasi ovunque, per la quale quindi, essendo i bordi del dominio di misura di Lebesgue nulla, non sarebbe è possibile farlo nella maniera classica.

Tale restringimento permette quindi di estendere teoremi che legano i valori di una funzione ai suoi valori sul bordo del dominio di definizione, come ad esempio il teorema di Green-Gauss. Inoltre tale teorema ci permette di formulare una definizione alternativa degli spazi di Sobolev $W_{0}^{m,p}$.

Il teorema di seguito riportato chiede per il dominio $\Omega$ condizioni più stringenti di regolarità rispetto a quelle strettamente necessarie. Infatti, le condizioni minime sono quelle per l'esistenza di soluzioni delle equazioni di Dirichlet non omogenee.

Definizione di traccia

Sia $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ un aperto e limitato e sia $u\in H^{m}(\Omega )$, dove abbiamo indicato con $H^{m}(\Omega )$ lo spazio di Sobolev $W^{m,2}(\Omega )$. Un operatore lineare continuo $\gamma =(\gamma _{0},\ldots ,\gamma _{m})\colon H^{m}(\Omega )\to \left(L^{2}(\partial \Omega )\right)$ si dice operatore di traccia se per ogni $u\in H^{m}(\Omega )\cap C^{\infty }({\bar {\Omega }})$ risulta $\gamma _{0}(u)=u\vert _{\partial \Omega }$, $\gamma _{i}(u)={\frac {\partial ^{i}u}{\partial \nu ^{i}}}\vert _{\partial \Omega }$, per ogni $i=1,\ldots ,m-1$, dove $\nu$ indica la normale esterna al bordo di $\Omega$.

Teorema

Sia $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ aperto limitato di classe $C^{m+1}$, allora esiste un operatore traccia $\gamma =(\gamma _{0},\ldots ,\gamma _{m})\colon H^{m}(\Omega )\to \left(L^{2}(\partial \Omega )\right)$ tale che

• se $u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})$, allora $\gamma _{0}(u)=u\vert _{\partial \Omega }$, $\gamma _{i}(u)={\frac {\partial ^{i}u}{\partial \nu ^{i}}}\vert _{\partial \Omega }$, per ogni $i=1,\ldots ,m-1$, dove $\nu$ indica la normale esterna al bordo di $\Omega$;
• l'immagine di $\gamma$ è un sottospazio di $\left(L^{2}(\partial \Omega )\right)^{m}$, più precisamente è $\prod _{j=0}^{m-1}H^{m-j-{\frac {1}{2}}}(\partial \Omega )$;
• il nucleo di $\gamma$ è lo spazio di Hilbert $H_{0}^{m}(\Omega )$.

Conseguenze

La traccia permettere di estendere il teorema di Green-Gauss a funzioni definite su spazi di Sobolev.

Teorema di Green

Sia $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ aperto limitato di classe $C^{1}$. Siano $u$ e $v$ in $H^{1}(\Omega )$. Allora, per ogni $i=1,\ldots ,m$

$\int _{\Omega }u(x){\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}(x)dx=-\int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}(x)v(x)dx+\int _{\partial \Omega }\gamma _{0}(u)(x)\gamma _{0}(v)(x)\nu _{i}(x)d\sigma (x),$

dove $\nu _{i}(x)$ indica l'$i$-esima componente del versore normale uscente dal bordo di $\Omega$ in $x$.

Bibliografia

• Kesavan, S. Functional analysis and applications. Wiley, 1988.

Voci correlate

• Spazio di Sobolev
• Equazioni ellittiche
• teorema di Green
• Teorema degli amici e degli sconosciuti
• Teorema di Josefson-Nissenzweig
• Teorema di Monsky