Teorema di Wigner-Eckart

Il teorema di Wigner-Eckart è un importante teorema della meccanica quantistica che permette di semplificare il calcolo degli elementi di matrice di un tensore sferico. Sia $T_{q}^{k}$ la componente q-esima di un tensore sferico di rango k, ($A,J^{2},J_{z}$) un insieme completo di osservabili che commutano e $|\alpha jm\rangle$ una base di autostati simultanei delle stesse. Allora:

$\langle \alpha 'j'm'|T_{q}^{k}|\alpha jm\rangle =\langle jk;mq|jk;j'm'\rangle {\frac {\langle \alpha 'j'||T^{k}||\alpha j\rangle }{\sqrt {2j+1}}}$

Il primo termine al secondo membro è un coefficiente di Clebsch-Gordan corrispondente alla composizione di due momenti angolari j e k con terza componente m e q rispettivamente. Il secondo termine è detto elemento di matrice ridotto e non dipende da m, m' e q. Nel caso in cui abbiamo k=0, cioè il tensore sferico è uno scalare, allora

$\langle \alpha 'j'm'|T_{0}^{0}|\alpha jm\rangle =\langle j0m0|j'm'\rangle \langle \alpha 'j'||T^{0}||\alpha j\rangle$

di conseguenza otteniamo le regole di selezione j=j' e m=m' (per avere un elemento di matrice non nullo). Nel caso in cui k=1, cioè il tensore sferico è un operatore vettoriale, si ottiene

$\langle \alpha 'j'm'|T_{q}^{1}|\alpha jm\rangle =\langle j1mq|j'm'\rangle \langle \alpha 'j'||T^{1}||\alpha j\rangle$

da cui seguono le regole di selezione $m'=m+q$ e $j'$ ∈ j ⊗ 1.

Dal teorema di Wigner-Eckart, nel caso $j=j'$ e $k=1$, segue facilmente un ulteriore importante teorema, il teorema di proiezione:

$\langle \alpha 'jm'|T_{q}^{1}|\alpha jm\rangle =\langle jm'|J_{q}|jm\rangle \langle \alpha 'jm|\alpha jm\rangle$

Bibliografia

• M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, 1972) (capitolo 27, p. 1006)
• L. D. Landau e E. M. Lifsits Fisica Teorica: Vol. 3 Meccanica Quantistica (Editori Riuniti, Roma, 1978)
• J.J Sakurai - Meccanica quantistica moderna
• (EN) A. Messiah Quantum Mechanics (Dover, 2004) / (FR) Mécanique Quantique t. II (Dunod, 1960)
• (EN) E. U. Condon e G. H. Shortley The theory of atomic spectra (Cambridge University Press, 1959)
• (EN) W. Miller Jr. Symmetry Groups and Their Applications (Academic Press, New York, 1972) (capitolo 3, p. 81 e capitolo 7)

Voci correlate

• Coefficienti di Clebsch-Gordan
• Osservabile
• Serie di Clebsch-Gordan
• Momento angolare totale
• Spin
• Momento angolare orbitale
• Autofunzioni del momento angolare
• Composizione di momenti angolari

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Wigner-Eckart Theorem, su MathWorld, Wolfram Research.
• J. J. Sakurai, (1994). "Modern Quantum Mechanics", Addison Wesley, ISBN 0-201-53929-2.
• Wigner–Eckart theorem, su electron6.phys.utk.edu.
• Tensor Operators, su galileo.phys.virginia.edu.