Teorema di esistenza di Peano

In matematica, in particolare nell'ambito delle equazioni differenziali ordinarie, il teorema di esistenza di Peano (detto anche teorema di Peano, o teorema di Cauchy-Peano, secondo una denominazione che fa riferimento a Giuseppe Peano e Augustin-Louis Cauchy) è un importante enunciato che garantisce l'esistenza di soluzioni per un dato problema ai valori iniziali.

Il teorema

Sia $D$ un sottoinsieme aperto di $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ , sia $f\colon D\to \mathbb {R}$ una funzione continua e si consideri un'equazione differenziale ordinaria esplicita del prim'ordine definita su $D$ :

y'(x)=f\left(x,y(x)\right)

Allora ogni problema ai valori iniziali per $f$ :

y\left(x_{0}\right)=y_{0}

con $(x_{0},y_{0})\in D$ , possiede una soluzione locale $z\colon I\to \mathbb {R}$ , dove $I$ è un intorno di $x_{0}$ in $\mathbb {R}$ , tale che:

z'(x)=f\left(x,z(x)\right)

per tutti gli $x\in I$ .

La soluzione può non essere unica, in quanto lo stesso valore iniziale $(x_{0},y_{0})$ può dare origine a diverse soluzioni $z$ .

Altri risultati

Un risultato correlato con il teorema di Peano è il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy, che assume che $f$ sia una funzione lipschitziana rispetto al secondo argomento e giunge a concludere per l'esistenza e l'unicità di una soluzione (mentre l'enunciato di Peano mostra soltanto l'esistenza). Ad esempio, si consideri l'equazione:

y'=\left\vert y\right\vert ^{\frac {1}{2}}

nel dominio $\left[0,1\right]$ . Per il teorema di Peano questa equazione ha soluzioni, ma non si può applicare il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy in quanto il membro di destra non è lipschitziano in un intorno dell'origine: la soluzione non è unica.

Una generalizzazione significativa si ottiene con il teorema di esistenza di Carathéodory, che richiede condizioni più deboli per $f$ . Tali condizioni sono però soltanto sufficienti.^[1]

Note

^ Esistono altri risultati, come quello di Okamura, che forniscono condizioni necessarie e sufficienti affinché il problema ai valori iniziali abbia soluzione unica. Si veda Ravi P. Agarwal e V. Lakshmikantham, Uniqueness and Nonuniqueness Criteria for Ordinary Differential Equations, World Scientific, 1993, ISBN 978-981-02-1357-2., page 159.

Bibliografia

Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203, Paragrafo 50.
(EN) G. Peano, Sull'integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine, Atti Accad. Sci. Torino, 21 (1886) 437–445.[1]
(EN) G. Peano, Demonstration de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires, Mathematische Annalen, 37 (1890) 182–228.
(EN) W. F. Osgood, Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung, Monatsheft Mathematik,9 (1898) 331–345.
(EN) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Providence, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0.
(EN) Murray, Francis J.; Miller, Kenneth S., Existence Theorems for Ordinary Differential Equations, Krieger, New York, Reprinted 1976, Original Edition published by New York University Press, 1954

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) M.I. Voitsekhovskii, Peano theorem, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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[1] Esistono altri risultati, come quello di Okamura, che forniscono condizioni necessarie e sufficienti affinché il problema ai valori iniziali abbia soluzione unica. Si veda Ravi P. Agarwal e V. Lakshmikantham, Uniqueness and Nonuniqueness Criteria for Ordinary Differential Equations, World Scientific, 1993, ISBN 978-981-02-1357-2., page 159.

[1]