Test di Miller-Rabin

Il test di primalità di Miller-Rabin è un test di primalità, ossia un algoritmo per determinare se un numero intero è primo. La sua versione originale, dovuta a Gary Miller, è deterministica, ma dipende dall'ipotesi di Riemann generalizzata, un'importante congettura matematica tuttora aperta. L'algoritmo è stato successivamente modificato da Michael Rabin che ne ha ottenuto una versione probabilistica simile al test di Fermat e al test di Solovay-Strassen.

Definizione

Sia n un numero intero positivo dispari e non primo. I numeri positivi b<n tali che M.C.D.(b,n)=1, e tali che n sia uno pseudoprimo di Eulero forte in base b sono non più di un quarto di tutti i numeri positivi b<n tali che M.C.D.(b,n)=1.

Questo è il test di primalità che stavamo presentando:

Se fisso un intero dispari n>1, lo posso scrivere come $n=2^{s}*t+1$ , con t dispari. Il test T $_{1}$ si sintetizza nei seguenti:

scegliamo a caso un intero b $_{1}$ , con 1<b $_{1}$ <n, e calcoliamo M.C.D.(b $_{1}$ , n);
se M.C.D.(b $_{1}$ , n) > 1, allora n non è primo, ed abbiamo finito;
se M.C.D.(b $_{1}$ , n) = 1, calcoliamo b $_{1}^{t}$ (mod n). Se b $_{1}^{t}$ ≡ +1 (mod n) oppure b $_{1}^{t}$ ≡ -1 (mod n), n è primo oppure è pseudoprimo forte in base b $_{1}$ ;
se non vale che b $_{1}^{t}$ ≡ +1 (mod n) oppure b $_{1}^{t}$ ≡ -1 (mod n), calcoliamo b $_{1}^{2t}$ (mod n). Se b $_{1}^{2t}$ ≡ -1 (mod n), allora n è pseudoprimo forte in base b $_{1}$ ;
se non vale che b $_{1}^{2t}$ ≡ -1 (mod n), passiamo a b $_{1}^{4t}$ , e a tutte le altre potenze di 2, moltiplicate per t. Se tutti i b $_{1}^{2^{r}*t}$ , per r=1,..., s-1, non sono mai congrui a -1 modulo n, allora $n$ non è un primo. Altrimenti n è uno pseudoprimo forte in base b $_{1}$ .

Per tutti gli altri test {T $_{m}$ } $_{m}$ , m∈ $\mathbb {N}$ , la definizione è analoga:

scegliamo a caso un intero b $_{m}$ , con 1<b $_{m}$ <n, e calcoliamo M.C.D.(b $_{m}$ , n);
se M.C.D.(b $_{m}$ , n) > 1, allora n non è primo, ed abbiamo finito;
se M.C.D.(b $_{m}$ , n) = 1, calcoliamo b $_{m}^{t}$ (mod n), e procediamo come nel primo test. In questo modo troviamo che n non è primo, oppure che n è pseudoprimo forte in base b $_{m}$ .

Considerazioni finali sul test

Si può subito notare che, a differenza dei Test di Fermat e Test di Wilson, qui i calcoli sono minori in numero e molto più semplici, e si può dimostrare che il livello di complessità computazionale è polinomiale, mentre gli altri due presentano una difficoltà computazionale esponenziale. Per quanto riguarda l'affidabilità, anch'essa è molto buona in questo test. Infatti, nonostante sia un test probabilistico, quando effettuiamo il test T $_{m}$ , sappiamo che la probabilità che n non sia primo e sia uno pseudoprimo forte in base b $_{m}$ è minore di 1/4, e, quindi, la probabilità che n non sia primo ma passi i test T $_{1}$ , T $_{2}$ , ... , T $_{m}$ è minore di $\left({\frac {1}{4^{m}}}\right)$ , ossia piccolissima rispetto a quella del Test di Fermat.

Assumendo l'Ipotesi di Riemann generalizzata, il test di Miller-Rabin si può facilmente modificare in modo da diventare un vero test di primalità e l'algoritmo ad esso associato avrebbe costo $O((\log n)^{4}\log \log \log n)$ ^[1].