Utente:Cantor26/Sandbox

$G{\dfrac {Mm}{R^{2}(t)}}+R^{''}(t)m=0$

che si può scrivere nella forma :

$R''(t)=-{\dfrac {GM}{R^{2}}}$

Posto $R'=z$ allora $R''=z'z$ infatti :

$R''={\dfrac {dz}{dt}}={\dfrac {dz}{dR}}{\dfrac {dR}{dt}}=z'z$

Pertanto :

$\int zdz=-\int {\dfrac {GM}{R^{2}}}$

${\dfrac {z^{2}}{2}}={\dfrac {GM}{R}}+c$

con c costante arbitraria e quindi:

${\dfrac {dR}{dt}}=z=+-{\sqrt {\dfrac {2(GM+cR)}{R}}}$

da cui :

$\int \left[2\left({\dfrac {GM+cR}{R}}\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}dR=\int dt$

Utilizzando il programma wxMaxima per risolvere l'integrale si ottiene:

${{G\,M\,\log \left({{{\sqrt {{c\,R+G\,M} \over {R}}}-{\sqrt {c}}} \over {{\sqrt {{c\,R+G\,M} \over {R}}}+{\sqrt {c}}}}\right)+2\,{\sqrt {c}}\,R\,{\sqrt {{c\,R+G\,M} \over {R}}}} \over {2^{{3} \over {2}}\,c^{{3} \over {2}}}}=t-b$

con b costante arbitraria, oppure in altra forma :

${{-{\sqrt {2}}\,G\,M\,\log \left({\sqrt {c\,R+G\,M}}+{\sqrt {c}}\,{\sqrt {R}}\right)+{\sqrt {2}}\,G\,M\,\log \left({\sqrt {c\,R+G\,M}}-{\sqrt {c}}\,{\sqrt {R}}\right)+2^{{3} \over {2}}\,{\sqrt {c}}\,{\sqrt {R}}\,{\sqrt {c\,R+G\,M}}} \over {4\,c^{{3} \over {2}}}}=t-b$

Definita la funzione :

$t=\varphi (R)={{G\,M\,\log \left({{{\sqrt {{c\,R+G\,M} \over {R}}}-{\sqrt {c}}} \over {{\sqrt {{c\,R+G\,M} \over {R}}}+{\sqrt {c}}}}\right)+2\,{\sqrt {c}}\,R\,{\sqrt {{c\,R+G\,M} \over {R}}}} \over {2^{{3} \over {2}}\,c^{{3} \over {2}}}}+b$

Essendo :

$\varphi '(R)=\left[2\left({\dfrac {GM+cR}{R}}\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}>0$

allora la funzione $\varphi (R)$ è sempre crescente per cui esiste la sua funzione inversa R(t) che rappresenta il raggio di curvatura dell'universo in funzione del tempo e risulta simmetrica a $\varphi (R)$ rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante degli assi cartesiani per cui studiando la funzione $\varphi (R)$, si ottiene:

$R(t)=\varphi ^{-1}(t)$

Quindi poiché risulta :

$\lim _{R\to 0}\varphi (R)=b$

$\lim _{R\to +\infty }\varphi (R)=+\infty$

$\varphi ''(R)={{G\,M} \over {2^{{3} \over {2}}\,R^{2}\,\left({{c\,R+G\,M} \over {R}}\right)^{{3} \over {2}}}}>0$

La funzione $\varphi (R)$ risulta sempre crescente, convessa e divergente a $+\infty$ e conseguentemente la funzione R(t) risulta per la simmetria crescente,concava e divergente a $+\infty$ .

Inoltre la funzione $\varphi (R)$ incontra l'asse delle ascisse in un tempo $t_{*}=b$ in cui il raggio è nullo . In particolare  :

$\varphi ^{-1}(0)=0\quad \Longrightarrow \quad t_{*}=b=0$

Ma per la simmetria delle 2 funzioni, anche R(t) si annulla in un tempo $t_{*}=b$ per cui :

$R(0)=0\quad \Longrightarrow \quad t_{*}=b=0$

Ma il fatto che è esistito un tempo in cui il raggio era nullo, essendo la densità dell'universo data dal rapporto tra massa e volume dell'universo,nell'ipotesi di una 2-sfera si ha:

$d={\dfrac {M}{V}}={\dfrac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}$

Pertanto :

$\lim _{R\to 0}d=+\infty$