Utente:Max.vaglieco/Sandbox/Parabola/Luogo geometrico

Definizione geometrica del Fuoco;dell'Eq.Polare; dell'Eq. Parametriche.

Nuova definizione di luogo geometrico della Parabola :

In un riferimento cartesiano (ortogonale), il luogo geometrico dei punti che distano dall'origine la somma algebrica di una costante $p(p\in R^{+})$ ed una coordinata di tali punti, cioè:

$(p\pm y)$ (+aperta verso l'alto; - aperta verso il basso; y asse di simmetria)

$(p\pm x)$ (+aperta verso destra; - aperta verso sinistra; x asse di simmetria)

dà luogo ad una curva chiamata Parabola e l'Origine è detto Fuoco, se il campo di variabilità di tali coordinate è:

$(-{\frac {p}{2}};{+\infty })\qquad oppure\qquad (+{\frac {p}{2}};{-\infty })$

Dove p=Parametro della Parabola (lato retto) e p/2=distanza del Vertice della Parabola dal Fuoco (Origine).

Valori Parametrici

${\begin{cases}(p\pm x)\cos \beta =x\\(p\pm x)\sin \beta =y\end{cases}}\qquad (p\pm x)^{2}=x^{2}+y^{2}$

da cui l'Equazione per punti della parabola con il Fuoco nell' Origine:

$\ y^{2}=p^{2}\pm 2px$

Eq. Polare della Parabola:
Considerando:
$(p\pm x)\cos \beta =x\quad \Rightarrow \quad x={\frac {p}{1\mp \cos \beta }}\cos \beta ;\quad (p\pm x)={\frac {p}{1\mp \cos \beta }}$
l'ultima espressione è l'Eq.Polare della Parabola.

Eq. Parametrica con Fuoco nell' Origine:

$OA=(p\pm x)={\frac {p}{1\mp \cos \beta }}$

${\begin{cases}OA\cos \beta =x={\frac {p}{1\mp \cos \beta }}\cos \beta \\OA\sin \beta =y={\frac {p}{1\mp \cos \beta }}\sin \beta \end{cases}}$

Eq. Parametrica con il Vertice nell' Origine:
Sia A(x,y) punto della parabola e la sua equazione conica:

$y^{2}=2px\quad \Longrightarrow \quad {\begin{cases}x^{2}+y^{2}=x^{2}+2px=OA^{2}\\\\OA^{2}\sin ^{2}\beta =2p\ OA\cos \beta \quad \Longrightarrow \quad \left|OA\right|=\left|{\frac {2p\cos \beta }{\sin ^{2}\beta }}\right|\end{cases}}$

e l’ascissa al quadrato

$(x^{2}+2px)\cos ^{2}\beta =x^{2}\quad \Longrightarrow \quad x^{2}\sin ^{2}\beta =2px\cos ^{2}\beta \quad \Longrightarrow \quad x={\frac {2p}{\tan ^{2}\beta }}$
$y=x\tan \beta \quad sostituendo\;x\quad y={\frac {2p}{\tan \beta }}$

$\qquad {\begin{cases}OA\cos \beta =x={\frac {2p}{\tan ^{2}\beta }}\\OA\sin \beta =y={\frac {2p}{\tan \beta }}\end{cases}}$

Immagine eventualmente da commentare e valutare in un secondo momento

Proprietà della parabola con Fuoco nell'Origine

Proprietà della Parabola con il Fuoco nell'Origine:

${\overline {OA}}=(p+x)$

${\overline {SO}}={\overline {OA}}$

${\overline {OT}}={\overline {OA}}\quad pertanto\quad \beta =2\rho$

${\overline {SH}}={\overline {OB}}=p\quad (costante)$

${\overline {TV}}={\overline {VH}}=(p/2+x)$