Utente:Ming mm/Teorema di preparazione di Weierstrass

In matematica, il teorema di preparazione di Weierstrass è uno strumento per gestire le funzioni analitiche a più variabili complesse, in un dato punto P. Questo teorema afferma che tale funzione è un polinomio in una variabile fissata z, fino a quando non è moltiplicata per una funzione non zero in P. Tale polinomio è monico, e i coefficienti di termini di grado inferiore sono funzioni analitiche nelle variabili rimanenti e zero in P.

Funzioni analitiche complesse

Per una variabile, la forma locale di una funzione analitica f ( z ) vicino a 0 è z ^k h ( z ) dove h (0) non è 0 e k è l'ordine dello zero di f ( z ) nell'origine 0. Questo è il risultato a cui porta il teorema della preparazione. Scegliamo una variabile z, che possiamo supporre sia la prima, e scriviamo le nostre variabili complesse come ( z, z ₂, ..., z _n ). Un polinomio W ( z ) di Weierstrass è

z ^k + g_{k − 1} z ^{k − 1} + ... + g₀

dove g_i ( z ₂, ..., z _n ) è analitica e g _i (0, ..., 0) = 0.

allora, il teorema afferma che per le funzioni analitiche f, se

f (0, ..., 0) = 0,

e

f ( z, z ₂, ..., z _n )

poiché una serie di potenze ha termini che coinvolgono solo z, possiamo scrivere (localmente vicino (0, ..., 0))

f ( z, z ₂, ..., z _n ) = W ( z ) h ( z, z ₂, ..., z _n )

con h analitica e h (0, ..., 0) non 0, e W un polinomio di Weierstrass.

Ciò ha la conseguenza immediata che l'insieme di zeri di f, vicino (0, ..., 0), può essere trovato fissando eventuali piccoli valori di z ₂, ..., z _n e quindi risolvendo l'equazione W (z ) = 0 . I corrispondenti valori di z formano un numero di diramazioni che variano con continuità, in numero pari al grado di W in z . In particolare f non può avere uno zero isolato.

Teorema della divisione

Un risultato correlato è il teorema della divisione Weierstrass, in cui si afferma che se 'f e g' sono funzioni analitiche, e G è un polinomio Weierstrass di grado N, allora esiste un unico paio he j tale che f = gh + j, dove j è un polinomio di grado inferiore a N. In effetti, molti autori dimostrano la preparazione di Weierstrass come corollario del teorema di divisione. È anche possibile dimostrare il teorema di divisione dal teorema di preparazione in modo che i due teoremi siano effettivamente equivalenti.

Serie formali di potenze in anelli locali completi

Esiste un risultato analogo, noto anche come teorema di preparazione di Weierstrass, per l'anello di serie di potenze formali su anelli locali completi A : per qualsiasi serie di potenze $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}\in A[[t]]$ tale che non tutto $a_{n}$ sono nell'ideale massimo ${\mathfrak {m}}$ di A, c'è una unica unità u in $A[[t]]$ e una polinomio F della forma $F=t^{s}+b_{s-1}t^{s-1}+\dots +b_{0}$ con $b_{i}\in {\mathfrak {m}}$ (un cosiddetto polinomio distinto) tale che

$f=uF.$

Ad esempio, questo vale per l'anello di numeri interi in un campo p-adico . In questo caso il teorema afferma che una serie di potenze f ( z ) può sempre essere fattorizzata in modo univoco come π ⁿ · u ( z ) · p ( z ), dove u ( z ) è un'unità nell'anello della serie di potenze, p ( z ) è un polinomio distinto (monico, con i coefficienti dei termini non guida ciascuno nell'ideale massimo), e π è un uniformatore fisso.

Algebre di Tate

$T_{n}(k)=\left\{\sum _{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}\geq 0}a_{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}},|a_{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}}|\to 0{\text{ for }}\nu _{1}+\dots +\nu _{n}\to \infty \right\}$

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